九章録要卷二

欽定四庫全書 九章録要卷二 松江屠文漪撰 零分法 幾數不能有整而無零分有法以通之則零不異於整也知此而零分皆可相并減相乗除乃能盡九章之術故備論於左 竒零命分約法　以法除實除得數為整數餘實少於法除之不可乃成竒零或原實先少於法則無整而但有零矣〈假如以尺計物是亦以法除實也物不滿尺是亦實少於法也〉凡此皆須命分而母子數多者必當約之其法有三一曰以實除法假如法一百六十八實一十四則以實除法適盡得一十二是為一十二分之一也一曰減法除實假如法一百六十八實一百四十則以實減法餘二十八乃以餘法除實適盡得五是為六分之五也一曰以通數並除法實列法實兩數以少減多更互相減至兩數相等即為通數假如法一百六十八實三十五依前互相減得七為通數因以除實盡得五亦以除法盡得二十四是為二十四分之五也又如二百五十分之二百一十約為二十五分之二十一是亦以十為通數也二十四分之一十約為一十二分之五是亦以二為通數也〈前兩法之一十四與二十八亦即是通數之易得者耳葢三法小異而理則同〉亦有不可約者即以法為母實為子命分 整帶零分化整為零分法　凡以法除實務得數歸整值餘實少於法不得已而命分乃有整帶零分此固然也而此特謂歸整命分之後其數可定不復與他數相并減相乗除者耳若更有他數須與之相并減相乗除則無論未歸整者且當以法為母實為子而勿急於歸整〈必歸整無零分方可歸整也〉即遇整帶零分已成之數亦必化整為零分何也數或零或整皆可與他數相并減乗除若本數自兼零整則難用整法又難用零分法故必須化之而不能化零為整但可化整為零其法以原母為母以原母乗整得數并原子為子如有數七零五分之三則化為五分之三十八是也 零分與整相并法零分并整則成整帶零分矣若更須與他數相并減乗除者亦以原母為母以原母乗整得數并原子為子如前法 零分與整相減法　零整相減者法亦以原母為母以原母乗整得數減原子為子如甲數七乙數五分之三相減得五分之三十二是也〈歸整則為六又五分之二〉 零分相并法　諸數皆零分欲相并者法以諸母累乗得數為共母以諸子各累乗他母得數為諸子〈本子與本母不相乗　或諸子各乗共母而以本母除之得數為諸子亦可〉乃相并為子假如甲數五分之二乙數七分之四丙數八分之三則以三母累乗得二百八十為共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二為甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十為乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五為丙子并之得三百七十七為子凡得二百八十分之三百七十七是也〈歸整為一又二百八十分之九十七〉 右法亦有可省者如甲數五分之四乙數三分之一丙數一十五分之七即以丙母一十五為共母而以甲子乗乙母得一十二為甲子以乙子乗甲母得五為乙子〈丙子即用原數〉并之得二十四為子凡得一十五分之二十四仍約為五分之八是也〈歸整為一