第三十一章 邏輯分析哲學
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在哲學中，自從畢達哥拉斯時代以來，一向存在着兩派人的一個對立局面：一派人的思想主要是在數學的啟發下産生的，另一派人受經驗科學的影響比較深。
柏拉圖、托馬斯·阿奎那、斯賓諾莎和康德屬于不妨叫作數學派的那一派，德谟克裡特、亞裡士多德、以及洛克以降的近代經驗主義者們屬于相反一派。
在現代興起了一個哲學派别，着手消除數學原理中的畢達哥拉斯主義，并且開始把經驗主義和注意人類知識中的演繹部分結合起來。
這個學派的目标不及過去大多數哲學家的目标堂皇壯觀，但是它的一些成就卻像科學家的成就一樣牢靠。
數學家們着手消除了自己學科裡的種種謬誤和粗率的推理，上述這派哲學的根源便在于數學家所取得的那些成績。
十七世紀的大數學家們都是很樂觀的，急于求得速決的結果；因此，他們聽任解析幾何與無窮小算法①停留在不穩固的基礎上。
萊布尼茲相信有實際的無窮小，但是這個信念雖然适合他的形而上學，在數學上是沒有确實根據的。
十九世紀中葉以後不久，魏爾施特拉斯指明如何不借助無窮小而建立微積分學，因而終于使微積分學從邏輯上講穩固了。
随後又有蓋奧爾克·康托，他發展了連續性和無窮數的理論。
“連續性”在他下定義以前向來是個含混字眼，對于黑格爾之流想把形而上學的混濁想法弄進數學裡去的哲學家們是很方便的。
康托賦予這個詞一個精确含義，并且說明了他所定義的那種連續性正是數學家和物理學家需要的概念。
通過這種手段，使大量的神秘玄想，例如柏格森的神秘玄想，變得陳舊過時了。
①即微積分學；原文是它的舊名稱“infinitesimalcalculus”。
——譯者 康托也克服了關于無窮數的那些長期存在的邏輯難題。
拿從1起的整數系列來說，這些數有多少個呢？很明顯，這個數目不是有窮的。
到一千為止，有一千個數；到一百萬為止，有一百萬個數。
無論你提出一個什麼有窮的數，顯然有比這更多的數，因為從1到該數為止，整整有那麼多數目的數，然後又有别的更大的數。
所以，有窮整數的數目必定是一個無窮數。
可是現在出了一個奇妙事實：偶數的數目必定和全體整數的數目一般多。
試看以下兩排數： 1，2，3，4，5，6，…… 2，4，6，8，10，12，…… 上排中每有一項，下排中就有相應的一項；所以，兩排中的項數必定一般多，固然下排隻是由上排中各項的一半構成的。
萊布尼茲注意到了這一點，認為這是一個矛盾，于是他斷定，雖然無窮集團是有的，卻沒有無窮數。
反之，蓋奧爾克·康托大膽否定了這是矛盾。
他做得對；這隻是個奇特事罷了。
蓋奧爾克·康托把“無窮”集團定義成這樣的集團：它具有和整個集團包含着一般多的項的部分集團。
他在這個基礎上得以建立起一種極有意思的無窮數的數學理論，從而把以前委棄給神秘玄想和混亂狀态的整個一個領域納入了嚴密邏輯的範圍。
下一個重要人物是弗雷格，他在1879年發表了他的第一部著作，在1884年發表了他的“數”的定義；但是，盡管他的各種發現有劃時代的性質，直到1903年我引起大家對他的注意時為止，他始終完全沒得到人的承認。
值得注意的是，在弗雷格以前，大家所提出的一切數的定義都含有基本的邏輯錯誤。
照慣例總是把“數”和“多元”當成一回事。
但是，“數”的具體實例是一個特指的數，譬如說3，而3的具體實例則是一個特指的三元組。
三元組是一個多元，但是一切三元組所成的類——弗雷格認為那就是3這個數本身——是由一些多元組成的一個多元，而以3為其一實例的一般的數，則是由一些多元組成的一些多元所組成的一個多元。
由于把這個多元與一個已知的三元組的簡單多元混淆起來，犯了這種基本的語法錯誤，結果弗雷格以前的全部數的哲學成了連篇廢話，是最嚴格意義上的“廢
柏拉圖、托馬斯·阿奎那、斯賓諾莎和康德屬于不妨叫作數學派的那一派，德谟克裡特、亞裡士多德、以及洛克以降的近代經驗主義者們屬于相反一派。
在現代興起了一個哲學派别，着手消除數學原理中的畢達哥拉斯主義，并且開始把經驗主義和注意人類知識中的演繹部分結合起來。
這個學派的目标不及過去大多數哲學家的目标堂皇壯觀，但是它的一些成就卻像科學家的成就一樣牢靠。
數學家們着手消除了自己學科裡的種種謬誤和粗率的推理，上述這派哲學的根源便在于數學家所取得的那些成績。
十七世紀的大數學家們都是很樂觀的，急于求得速決的結果；因此，他們聽任解析幾何與無窮小算法①停留在不穩固的基礎上。
萊布尼茲相信有實際的無窮小，但是這個信念雖然适合他的形而上學，在數學上是沒有确實根據的。
十九世紀中葉以後不久，魏爾施特拉斯指明如何不借助無窮小而建立微積分學，因而終于使微積分學從邏輯上講穩固了。
随後又有蓋奧爾克·康托，他發展了連續性和無窮數的理論。
“連續性”在他下定義以前向來是個含混字眼，對于黑格爾之流想把形而上學的混濁想法弄進數學裡去的哲學家們是很方便的。
康托賦予這個詞一個精确含義，并且說明了他所定義的那種連續性正是數學家和物理學家需要的概念。
通過這種手段，使大量的神秘玄想，例如柏格森的神秘玄想，變得陳舊過時了。
①即微積分學；原文是它的舊名稱“infinitesimalcalculus”。
——譯者 康托也克服了關于無窮數的那些長期存在的邏輯難題。
拿從1起的整數系列來說，這些數有多少個呢？很明顯，這個數目不是有窮的。
到一千為止，有一千個數；到一百萬為止，有一百萬個數。
無論你提出一個什麼有窮的數，顯然有比這更多的數，因為從1到該數為止，整整有那麼多數目的數，然後又有别的更大的數。
所以，有窮整數的數目必定是一個無窮數。
可是現在出了一個奇妙事實：偶數的數目必定和全體整數的數目一般多。
試看以下兩排數： 1，2，3，4，5，6，…… 2，4，6，8，10，12，…… 上排中每有一項，下排中就有相應的一項；所以，兩排中的項數必定一般多，固然下排隻是由上排中各項的一半構成的。
萊布尼茲注意到了這一點，認為這是一個矛盾，于是他斷定，雖然無窮集團是有的，卻沒有無窮數。
反之，蓋奧爾克·康托大膽否定了這是矛盾。
他做得對；這隻是個奇特事罷了。
蓋奧爾克·康托把“無窮”集團定義成這樣的集團：它具有和整個集團包含着一般多的項的部分集團。
他在這個基礎上得以建立起一種極有意思的無窮數的數學理論，從而把以前委棄給神秘玄想和混亂狀态的整個一個領域納入了嚴密邏輯的範圍。
下一個重要人物是弗雷格，他在1879年發表了他的第一部著作，在1884年發表了他的“數”的定義；但是，盡管他的各種發現有劃時代的性質，直到1903年我引起大家對他的注意時為止，他始終完全沒得到人的承認。
值得注意的是，在弗雷格以前，大家所提出的一切數的定義都含有基本的邏輯錯誤。
照慣例總是把“數”和“多元”當成一回事。
但是，“數”的具體實例是一個特指的數，譬如說3，而3的具體實例則是一個特指的三元組。
三元組是一個多元，但是一切三元組所成的類——弗雷格認為那就是3這個數本身——是由一些多元組成的一個多元，而以3為其一實例的一般的數，則是由一些多元組成的一些多元所組成的一個多元。
由于把這個多元與一個已知的三元組的簡單多元混淆起來，犯了這種基本的語法錯誤，結果弗雷格以前的全部數的哲學成了連篇廢話，是最嚴格意義上的“廢