第二十二章 數學
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宋元時期數學是中國古代數學發展的高峰，其成就和總體水平都處于世界數學的前列。
元代的傑出數學家有朱世傑、李冶、王恂和郭守敬等，名著有《測圓海鏡》（1248）、《益古演段》（1259）、《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。
流傳或部分流傳至今的數學著作還有《丁巨算法》，何平子《詳明算法》，賈亨《算法全能集》，《透簾細草》，《錦囊啟源》等。
重要成就是天元術和四元術、垛積術、招差術、弧矢割圓術和球面三角法、籌算、歌訣的完備和珠算的發明等。
第一節 天元術和四元術 在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。
宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代王孝通運用幾何方法列三次方程，往往需要高超的數學技巧、複雜的推導和大量的文字說明，這是一件相當困難的工作。
随着宋代創立的增乘開方法的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對于列方程方法的研究，于是，又出現了中國數學的又一項傑出創造&mdash&mdash天元術。
據史籍記載，金、元之際已有一批有關天元術的著作，如蔣周《益古》、李文一《照膽》、石信道《钤經》、劉汝锴《如積釋鎖》等（朱世傑《四元玉鑒》祖頤後序），可惜都已失傳。
但在稍晚的李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。
李冶（1192&mdash1279），原名李治，字仁卿，号敬齋，真定栾城（今河北栾城縣）人。
生于大興府（今北京市）。
曾為金代詞賦科進士，鈞州（今河南禹州市）知州，元翰林學士知制诰同修國史。
晚年隐居于河北元氏縣封龍山下，收徒講學并勤于著述，與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱“龍山三老”。
他在數學專著《測圓海鏡》（12卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符号表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
《益古演段》（3卷）則是他為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。
李冶還著有《敬齋古今黈》40卷、《敬齋文集》40卷、《壁書叢削》12卷、《泛說》40卷等，前一種今有輯本12卷，後三種已失傳。
朱世傑，字漢卿，号松庭，生平不詳。
據《四元玉鑒》莫若序稱：“燕山松庭朱先生，以數學名家周遊湖海二十餘年矣。
四方之來學者日衆，先生遂發明《九章》之妙，以淑後學。
為書三卷..名曰《四元玉鑒》”，由此可見，朱世傑當時已是聲名卓著的數學家和教育家。
所著《算學啟蒙》3卷，内容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、籌算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全面的數學啟蒙書籍。
《數學啟蒙》曾傳入朝鮮和日本，産生了一定的影響。
這部書，清代刻印所依據的是朝鮮翻刻本。
朱世傑的代表作《四元玉鑒》記載了他所創造的高次方程組的建立與求解方法（四元術），以及他在高階等差級數求和（垛積術）、高階内插法（招差術）等方面的重要成就。
美國科學史家喬治·薩頓（G.Sarton）在他的名著《科學史導論》中指出：《四元玉鑒》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一”。
除李冶、朱世傑外，贍思《河防通議》中也有天元術在水利工程方面的應用。
天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現在代數學中列方程的方法基本一緻，但寫法不同。
它首先要“立天元一為某某”，相當于“設x為某某”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。
然後，通過類似合并同類項的過程，得出一個一端為零的方程。
天元術的表示方法不完全一緻，按照李冶的記法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可寫成如下形式：其中a0，a1，.，an表示方程各項系數，均為籌算數碼，在常數項旁邊記一“太”字（或在一次項旁邊記一“元”字），“太”或“元”向上每層減少一次幂，向下每層增加一次幂。
方程列出後，再按增乘開方法求正實根。
天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。
而在歐洲，隻是到了十六世紀才做到這一點。
此外，宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數字高次方程正根的運算過程。
因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明确的方法和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。
不僅如此，繼天元術之後，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最後又由朱世傑創立了四元術。
“四元術”是多元高次方程組的建
元代的傑出數學家有朱世傑、李冶、王恂和郭守敬等，名著有《測圓海鏡》（1248）、《益古演段》（1259）、《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。
流傳或部分流傳至今的數學著作還有《丁巨算法》，何平子《詳明算法》，賈亨《算法全能集》，《透簾細草》，《錦囊啟源》等。
重要成就是天元術和四元術、垛積術、招差術、弧矢割圓術和球面三角法、籌算、歌訣的完備和珠算的發明等。
第一節 天元術和四元術 在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。
宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代王孝通運用幾何方法列三次方程，往往需要高超的數學技巧、複雜的推導和大量的文字說明，這是一件相當困難的工作。
随着宋代創立的增乘開方法的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對于列方程方法的研究，于是，又出現了中國數學的又一項傑出創造&mdash&mdash天元術。
據史籍記載，金、元之際已有一批有關天元術的著作，如蔣周《益古》、李文一《照膽》、石信道《钤經》、劉汝锴《如積釋鎖》等（朱世傑《四元玉鑒》祖頤後序），可惜都已失傳。
但在稍晚的李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。
李冶（1192&mdash1279），原名李治，字仁卿，号敬齋，真定栾城（今河北栾城縣）人。
生于大興府（今北京市）。
曾為金代詞賦科進士，鈞州（今河南禹州市）知州，元翰林學士知制诰同修國史。
晚年隐居于河北元氏縣封龍山下，收徒講學并勤于著述，與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱“龍山三老”。
他在數學專著《測圓海鏡》（12卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符号表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
《益古演段》（3卷）則是他為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。
李冶還著有《敬齋古今黈》40卷、《敬齋文集》40卷、《壁書叢削》12卷、《泛說》40卷等，前一種今有輯本12卷，後三種已失傳。
朱世傑，字漢卿，号松庭，生平不詳。
據《四元玉鑒》莫若序稱：“燕山松庭朱先生，以數學名家周遊湖海二十餘年矣。
四方之來學者日衆，先生遂發明《九章》之妙，以淑後學。
為書三卷..名曰《四元玉鑒》”，由此可見，朱世傑當時已是聲名卓著的數學家和教育家。
所著《算學啟蒙》3卷，内容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、籌算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全面的數學啟蒙書籍。
《數學啟蒙》曾傳入朝鮮和日本，産生了一定的影響。
這部書，清代刻印所依據的是朝鮮翻刻本。
朱世傑的代表作《四元玉鑒》記載了他所創造的高次方程組的建立與求解方法（四元術），以及他在高階等差級數求和（垛積術）、高階内插法（招差術）等方面的重要成就。
美國科學史家喬治·薩頓（G.Sarton）在他的名著《科學史導論》中指出：《四元玉鑒》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一”。
除李冶、朱世傑外，贍思《河防通議》中也有天元術在水利工程方面的應用。
天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現在代數學中列方程的方法基本一緻，但寫法不同。
它首先要“立天元一為某某”，相當于“設x為某某”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。
然後，通過類似合并同類項的過程，得出一個一端為零的方程。
天元術的表示方法不完全一緻，按照李冶的記法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可寫成如下形式：其中a0，a1，.，an表示方程各項系數，均為籌算數碼，在常數項旁邊記一“太”字（或在一次項旁邊記一“元”字），“太”或“元”向上每層減少一次幂，向下每層增加一次幂。
方程列出後，再按增乘開方法求正實根。
天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。
而在歐洲，隻是到了十六世紀才做到這一點。
此外，宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數字高次方程正根的運算過程。
因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明确的方法和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。
不僅如此，繼天元術之後，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最後又由朱世傑創立了四元術。
“四元術”是多元高次方程組的建