2. 概率和檢驗的嚴格性
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取,
取代(b)和(c)。
這些定義可以加強:對于一個無窮的理論,在最後的括号前,例如在(c)中插入一個僅僅在假設p(ai,b)&ne0之下從(c)推出的方程 &ldquo&p(an+1,ai,b)=p(an+1,b)&rdquo, 可能是合适的。
現在,我們可以轉到檢驗的嚴格性的定義上了。
設h是有待檢驗的假說;設e是檢驗陳述(證據),b是&ldquo背景知識&rdquo,也即我們在檢驗該理論時認為(暫時地)沒有問題的那一切東西。
(b也可以包含初始條件性的陳述。
)讓我們先假定,e是h和b的一個邏輯推論(這個假定後面将要放寬),這樣p(e,hb)=1。
例如,e可以是從牛頓的理論h和我們對火星過去位置的知識(構成b之一部分)推出的一個關于火星的一個預言位置的陳述。
于是,我們可以說,如果我們把e作為h的一個檢驗,那麼,在隻給出b(沒有h)時,e越不可幾,解釋為支持證據的這檢驗的嚴格性就越高;也就是說,對于給定的b的e的概率p(e,b)就越小。
定義檢驗e對于給定b的嚴格性S(e,b),主要有兩種方法。
(7)兩者都從内容度量Ct出發。
第一種方法把概率的補作為内容的度量Ct: (1) Ct(a)=1-p(a); 第二種方法把概率的倒數作為内容的度量: (2) Ct&prime(a)=1/p(a) 第一種方法提出了一個像S(e,b)=1-p(e,b)這樣的定義,或者更好地表達為 (3) S(e,b)=(1-p(e,b))/(1+p(e,b)) 就是說,它建議我們用Ct度量檢驗的嚴格性,或者更好地用&ldquo正規化的&rdquoCt(利用1/(1+p(e,b))作為一個正規化因子)來度量它。
第二種方法提議我們隻要用檢驗的内容Ct&prime來度量它的嚴格性: (4) S&prime(e,b)=Ct&prime(e,b)=1/p(e,b)。
現在我們來推廣這些定義,為此我們放寬e應邏輯地從h和b推出這個要求,甚或放寬下列更弱的要求: p(e,hb)=1 就是說我們現在假定存在某種概率,p(e,hb),它可能等于1,也可能不等于1。
這意味着,為了得到(3)和(4)的一個推廣,我們在這兩個公式中都用更一般的項&ldquop(e,hb)&rdquo代替&ldquo1&rdquo。
因此,我們得出了下面兩個解釋為理論h的支持證據的(對于給定的背景知識b)檢驗e的嚴格性的推廣定義。
(5)S(e,h,b)=(p(e,hb)-p(e,b))/(p(e,hb)+p(e,b)); (6) S&prime(e,h,b)=p(e,hb)/p(e,b)。
這些就是我們對作為支持證據的檢驗的嚴格性的度量。
這兩種度量之間沒有選擇餘地,因為從一種到另一種的轉移是保序的;(8)就是說,兩者都是拓撲不變的。
(如果我們用Ct&prime和S&prime的對數(9)例如log2Ct&Prime和log2S&prime代替Ct&prime和S&prime&mdash&mdash以使這些度量成為加性的,情形同樣如此。
) 在定義了我們的檢驗的嚴格性的度量後,現在我們可以用同樣的方法來定義理論h在b出現的條件下關于e的解釋力E(h,e,b)(而且如果我們願意的話,也可以類似方式定義h的确證度(10)): (7) E(h,e,b)=S(e,h,b); (8) E&prime(h,e,b)=S&prime(e,h,b)。
這些定義表明,對理論h的一次檢驗e越嚴格,理論h(關于某個被解釋者e)的解釋力就越大。
現在顯而易見,一個理論的解釋力的最大程度或者它的檢驗的嚴格性的最大程度乃取決于該理論的(信息的或經驗的)内容。
因此,知識的進步或潛在增長的标準将是我們理論的信息内容或經驗内容的增加;同時,是它們可檢驗性的增加,也是它們有關(已知的和未知的)現象的解釋力的增加。
這些定義可以加強:對于一個無窮的理論,在最後的括号前,例如在(c)中插入一個僅僅在假設p(ai,b)&ne0之下從(c)推出的方程 &ldquo&p(an+1,ai,b)=p(an+1,b)&rdquo, 可能是合适的。
現在,我們可以轉到檢驗的嚴格性的定義上了。
設h是有待檢驗的假說;設e是檢驗陳述(證據),b是&ldquo背景知識&rdquo,也即我們在檢驗該理論時認為(暫時地)沒有問題的那一切東西。
(b也可以包含初始條件性的陳述。
)讓我們先假定,e是h和b的一個邏輯推論(這個假定後面将要放寬),這樣p(e,hb)=1。
例如,e可以是從牛頓的理論h和我們對火星過去位置的知識(構成b之一部分)推出的一個關于火星的一個預言位置的陳述。
于是,我們可以說,如果我們把e作為h的一個檢驗,那麼,在隻給出b(沒有h)時,e越不可幾,解釋為支持證據的這檢驗的嚴格性就越高;也就是說,對于給定的b的e的概率p(e,b)就越小。
定義檢驗e對于給定b的嚴格性S(e,b),主要有兩種方法。
(7)兩者都從内容度量Ct出發。
第一種方法把概率的補作為内容的度量Ct: (1) Ct(a)=1-p(a); 第二種方法把概率的倒數作為内容的度量: (2) Ct&prime(a)=1/p(a) 第一種方法提出了一個像S(e,b)=1-p(e,b)這樣的定義,或者更好地表達為 (3) S(e,b)=(1-p(e,b))/(1+p(e,b)) 就是說,它建議我們用Ct度量檢驗的嚴格性,或者更好地用&ldquo正規化的&rdquoCt(利用1/(1+p(e,b))作為一個正規化因子)來度量它。
第二種方法提議我們隻要用檢驗的内容Ct&prime來度量它的嚴格性: (4) S&prime(e,b)=Ct&prime(e,b)=1/p(e,b)。
現在我們來推廣這些定義,為此我們放寬e應邏輯地從h和b推出這個要求,甚或放寬下列更弱的要求: p(e,hb)=1 就是說我們現在假定存在某種概率,p(e,hb),它可能等于1,也可能不等于1。
這意味着,為了得到(3)和(4)的一個推廣,我們在這兩個公式中都用更一般的項&ldquop(e,hb)&rdquo代替&ldquo1&rdquo。
因此,我們得出了下面兩個解釋為理論h的支持證據的(對于給定的背景知識b)檢驗e的嚴格性的推廣定義。
(5)S(e,h,b)=(p(e,hb)-p(e,b))/(p(e,hb)+p(e,b)); (6) S&prime(e,h,b)=p(e,hb)/p(e,b)。
這些就是我們對作為支持證據的檢驗的嚴格性的度量。
這兩種度量之間沒有選擇餘地,因為從一種到另一種的轉移是保序的;(8)就是說,兩者都是拓撲不變的。
(如果我們用Ct&prime和S&prime的對數(9)例如log2Ct&Prime和log2S&prime代替Ct&prime和S&prime&mdash&mdash以使這些度量成為加性的,情形同樣如此。
) 在定義了我們的檢驗的嚴格性的度量後,現在我們可以用同樣的方法來定義理論h在b出現的條件下關于e的解釋力E(h,e,b)(而且如果我們願意的話,也可以類似方式定義h的确證度(10)): (7) E(h,e,b)=S(e,h,b); (8) E&prime(h,e,b)=S&prime(e,h,b)。
這些定義表明,對理論h的一次檢驗e越嚴格,理論h(關于某個被解釋者e)的解釋力就越大。
現在顯而易見,一個理論的解釋力的最大程度或者它的檢驗的嚴格性的最大程度乃取決于該理論的(信息的或經驗的)内容。
因此,知識的進步或潛在增長的标準将是我們理論的信息内容或經驗内容的增加;同時,是它們可檢驗性的增加,也是它們有關(已知的和未知的)現象的解釋力的增加。