2. 概率和檢驗的嚴格性
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我們的檢驗的嚴格性能夠客觀地加以比較；如果我們願意的話，我們也可對它們的嚴格性規定一個尺度。
在這個限定以及本附錄後面的讨論中，我将在概率演算的意義上利用概率的思想；或者更确切地說，利用相對概率的思想： p（x，y）， 它讀做&ldquo對于給定的y，x的概率&rdquo。
絕對概率的思想： p（x）， 它讀做&ldquox的絕對概率&rdquo，這裡将用相對概率來加以定義，它的顯定義是 p（a，b）＝p（a，c））。
這裡&ldquo（a）&rdquo是&ldquo對于每一個a&rdquo的縮寫；&ldquo（Ea）&rdquo是&ldquo存在着一個a&rdquo的縮寫；&ldquo&rdquo是&ldquo當且僅當&rdquo的縮寫；&ldquo&hellip&hellip&hellip&hellip&rdquo是&ldquo如果&hellip&hellip那麼&hellip&hellip&rdquo的縮寫。
（後面我們還要用&ldquo&&rdquo作為&ldquo和&rdquo的縮寫。
）為了直觀地解釋D（AP），我們可以選擇c的否定作為d。
相對概率p（x、y）的思想這裡像在D（AP）中一樣，将主要用作定義者。
它本身又可用一個公理系統隐含地定義，就像在我的《科學發現的邏輯》（新的附錄*Ⅳ和*Ⅴ）中一樣。
那裡給出的六條公理可以簡并為三條，其中的一條A是一條存在公理，另外兩條B和C是（&ldquo創造性的&rdquo(5)）定義形式的公理： A （Ea）（Eb）p（a，b）&nep（b，b） 就是說，至少存在兩種不同的概率。
公理B用p（x，y）定義乘積ab（讀做&ldquoa和b&rdquo）。
公理C用p（x，y）定義補－a（讀做&ldquo非a&rdquo）。
對這三條公理，我們還可以添加三條（非創造性的或普通的）定義：上面用D（AP）定義的絕對概率p（a）的定義；布爾恒等式a＝b的定義；和相對于b的n項的獨立的定義。
恒等式定義如下： 我們認為如果所謂（相對于b的）&ldquo特殊乘法定理&rdquo适用于An集的2n－1個非空子集中的每一項，那麼一個n個元素的集成n項的序列An＝a1，&hellip，an，是&ldquon項獨立的（相對于b）&rdquo。
令ai，&hellip，am為任何這種子集（或子序列）的元素；那麼，如果An是n項獨立的，則我們有 （m） p（ai&hellipam，b）＝p（ai，b）·p（ai＋1，b）&hellipp（am，b）式中右邊是m－i概率的乘積。
在這些2n－1方程中，對應于An的2n－1非空子集，将存在n個無足輕重的方程（對于單元子集），因為對于m＝i，我們的方程（m）退化為 （i） p（ai，b）＝p（ai，b）； 這就是說，每一單個元素不過是1項獨立的（相對于每一個b）。
因此，An的n項獨立乃由2n－n－1個重要的方程定義。
(6) 這個運用2n－n－1個方程的有點笨拙的定義可加以簡化，為此引入&ldquoIndpn（a1，&hellip，an；b）&rdquo的一個遞歸定義，它讀做&ldquoa1，&hellip，an是n項獨立的（相對于b）&rdquo： D（Indp） （i）Indp1（a1；b），對于我們可能選擇的任意的元素a1和b。
（ii）Indpn＋1（a1，&hellip，an＋1；b），當且僅當 （a）Indpn（a1，&hellip，an；b）； （b）Indpn（a1，&hellip，an；（an＋1b））； （c）p（ai，（an＋1b））＝p（ai，b），對于每一個元素ai（1&lei&len）。
這裡我們可以用 （b&prime）p（an＋1，aj&hellipamb）＝p（an＋1，b，）其中aj&hellipam（對于j&lem&len）是An的任何子集的元素的合
在這個限定以及本附錄後面的讨論中，我将在概率演算的意義上利用概率的思想；或者更确切地說，利用相對概率的思想： p（x，y）， 它讀做&ldquo對于給定的y，x的概率&rdquo。
絕對概率的思想： p（x）， 它讀做&ldquox的絕對概率&rdquo，這裡将用相對概率來加以定義，它的顯定義是 p（a，b）＝p（a，c））。
這裡&ldquo（a）&rdquo是&ldquo對于每一個a&rdquo的縮寫；&ldquo（Ea）&rdquo是&ldquo存在着一個a&rdquo的縮寫；&ldquo&rdquo是&ldquo當且僅當&rdquo的縮寫；&ldquo&hellip&hellip&hellip&hellip&rdquo是&ldquo如果&hellip&hellip那麼&hellip&hellip&rdquo的縮寫。
（後面我們還要用&ldquo&&rdquo作為&ldquo和&rdquo的縮寫。
）為了直觀地解釋D（AP），我們可以選擇c的否定作為d。
相對概率p（x、y）的思想這裡像在D（AP）中一樣，将主要用作定義者。
它本身又可用一個公理系統隐含地定義，就像在我的《科學發現的邏輯》（新的附錄*Ⅳ和*Ⅴ）中一樣。
那裡給出的六條公理可以簡并為三條，其中的一條A是一條存在公理，另外兩條B和C是（&ldquo創造性的&rdquo(5)）定義形式的公理： A （Ea）（Eb）p（a，b）&nep（b，b） 就是說，至少存在兩種不同的概率。
公理B用p（x，y）定義乘積ab（讀做&ldquoa和b&rdquo）。
公理C用p（x，y）定義補－a（讀做&ldquo非a&rdquo）。
對這三條公理，我們還可以添加三條（非創造性的或普通的）定義：上面用D（AP）定義的絕對概率p（a）的定義；布爾恒等式a＝b的定義；和相對于b的n項的獨立的定義。
恒等式定義如下： 我們認為如果所謂（相對于b的）&ldquo特殊乘法定理&rdquo适用于An集的2n－1個非空子集中的每一項，那麼一個n個元素的集成n項的序列An＝a1，&hellip，an，是&ldquon項獨立的（相對于b）&rdquo。
令ai，&hellip，am為任何這種子集（或子序列）的元素；那麼，如果An是n項獨立的，則我們有 （m） p（ai&hellipam，b）＝p（ai，b）·p（ai＋1，b）&hellipp（am，b）式中右邊是m－i概率的乘積。
在這些2n－1方程中，對應于An的2n－1非空子集，将存在n個無足輕重的方程（對于單元子集），因為對于m＝i，我們的方程（m）退化為 （i） p（ai，b）＝p（ai，b）； 這就是說，每一單個元素不過是1項獨立的（相對于每一個b）。
因此，An的n項獨立乃由2n－n－1個重要的方程定義。
(6) 這個運用2n－n－1個方程的有點笨拙的定義可加以簡化，為此引入&ldquoIndpn（a1，&hellip，an；b）&rdquo的一個遞歸定義，它讀做&ldquoa1，&hellip，an是n項獨立的（相對于b）&rdquo： D（Indp） （i）Indp1（a1；b），對于我們可能選擇的任意的元素a1和b。
（ii）Indpn＋1（a1，&hellip，an＋1；b），當且僅當 （a）Indpn（a1，&hellip，an；b）； （b）Indpn（a1，&hellip，an；（an＋1b））； （c）p（ai，（an＋1b））＝p（ai，b），對于每一個元素ai（1&lei&len）。
這裡我們可以用 （b&prime）p（an＋1，aj&hellipamb）＝p（an＋1，b，）其中aj&hellipam（對于j&lem&len）是An的任何子集的元素的合