九、邏輯演算和算術演算為什麼可應用于實在(1)
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賴爾教授的文章(2)局限于讨論邏輯規則的适用性，或者更确切地說，讨論邏輯推理規則。
我打算跟着他讨論這個問題，隻是到後面把讨論擴展到邏輯演算和算術演算的适用性。
可是，我剛才作出的邏輯推理規則和所謂的邏輯演算（像命題演算、類演算或關系演算）的區别還需要作些澄清，我将在第Ⅰ節裡先讨論推理規則和演算之間的區别和聯系，然後再讨論我們面臨的兩個主要問題：推理規則的适用性問題（第Ⅱ節裡）和邏輯演算的适用性問題（第Ⅷ節裡）。
我将間接提到和利用一些賴爾教授論文中的思想，以及他向亞裡士多德學會作的主席緻詞：《認識的方法和認識的對象》（1945）中的思想。
(3) Ⅰ 讓我們考慮用某種語言例如普通英語表述的論證或推理的一個簡單例子。
這個論證将由一系列陳述構成。
我們可以假定，某人論證說：&ldquo雷切爾是理查德的母親。
理查德是羅伯特的父親。
父親的母親是祖母。
因此，雷切爾是羅伯特的祖母。
&rdquo 最後一句中的&ldquo因此&rdquo可以被看作一種指示，表明說話者聲稱，他的論證是确鑿的或者正确的；或者換句話說，最後的陳述（結論）是正确地從前面三個陳述（前提）推出的。
他的這種說法，可以是正确的，也可以是錯誤的。
如果他在作這類聲稱時通常都是正确的，那麼我們可以說他懂得怎樣論證。
他也可能懂得怎樣論證，但不能夠用語詞向我們解釋他所遵循（和其他懂得怎樣論證的人一樣遵循）的這個程序的規則；正如一個鋼琴家可能懂得怎樣演奏得出色，但不能解釋精湛演奏所服從的程序的規則。
如果一個人懂得怎樣論證，但并不總是意識到程序的規則，那麼我們通常總說他是&ldquo直覺地&rdquo論證或推理。
如果我們現在讀完了上述論證，那麼，我們也許能夠直覺地說，這個論證是正确的。
幾乎沒有疑問，我們大多數人通常都在上述意義上直覺地進行推理。
表述和讨論日常直覺論證所服從的程序的規則，是一種非常專門和複雜的研究；那是專門屬于邏輯學家的工作。
每個有健全理智的人都懂得怎樣論證&mdash&mdash假如論證不是過于複雜的話&mdash&mdash但是，很少有人能夠表述這些操作所服從的規則，而這些規則我們可以稱作&ldquo推理規則&rdquo；也很少有人知道某個推理規則是正确的（知道它為什麼是正确的人也許還要少）。
利用變項和少數幾個其他人工符号，上述論證所服從的特定推理規則可表述為下面圖式：(4) 從以下形式的三個前提： 可以推出以下形式的一個結論：&ldquoxTz&rdquo。
這裡，任何個體的專名都可以代入&ldquox&rdquo、&ldquoy&rdquo和&ldquoz&rdquo，任何個體間關系的名稱都可以代入&ldquoR&rdquo、&ldquoS&rdquo和&ldquoT&rdquo；任何斷定x和y等等之間關系R成立的陳述，都可以代入&ldquoxRy&rdquo；當且僅當存在一個y，以緻xRy并且ySz，則x和z之間成立的一個關系的任何名稱都可以代入&ldquoR&lsquoS&rdquo；&ldquo＝&rdquo在這裡表示關系之間外延上的相等。
應該注意，這條推理規則構成了對某一類或某一形式的陳述的斷定。
這事實迥異于一種演算（在這裡是關系演算）的一個公式，例如： &ldquo對一切R、S和T；且對一切x、y和z：如果xRy，并且ySz，并且R&lsquoS＝T，那麼，xTz。
&rdquo 無疑，這個公式和我們的推理規則有所相似；事實上，它是對應于我們推理規則的那個陳述（在關系演算中）。
但是，它們并不是一回事：這公式有條件地對某一類的一切關系和個體有所斷定，而推理規則無條件地對某一類的一切陳述有所斷定，也即某種形式的每一個陳述都可無條件地從另一種形式的一組陳述推出。
同樣，我們應該區分例如傳統邏輯的推理規則（稱作&ldquoBar-bara&rdquo）： 和類演算的公式：&ldquo如果MaP并且SaM，那麼，SaP&rdquo（或者用比較現代的寫法：&ldquo如果c&subb并且a&subc，那麼a&subb&rdquo）；再如，區分那個稱為&ldquo命題邏輯的推理原則&rdquo的推理規則或肯定前件假言推理： 和命題演算的公式：&ldquo如果P，并且如果P那麼q，那麼，q。
&rdquo 事實上，對每個衆所周知的推理規則，都與之相應地有個衆所周知的演算公式，一個邏輯上真的假言或條件公式&mdash&mdash一個&ldquo邏輯學家的假言公式&rdquo（就如賴爾教授所稱的那樣）。
這種情況導緻把推理規則和相應的條件公式混淆起來。
但是，它們之間存在一些重要的差别。
（1）推理規則總是關于陳述的陳述，或關于陳述類的陳述（它們是&ldquo元語言的&rdquo）；而演算公式并非如此。
（2）推理規則是關于可演繹性的非條件陳述；但相應的演算公式則是有條件的或假言的即&ldquo如果&hellip&hellip那麼&rdquo的陳述，而它們并沒有涉及可演繹性、推理、前提或結論。
（3）一個推理規則，在用常項代入變項以後，就對某個論證（對這規則的&ldquo遵守&rdquo）有所斷定，就是說，斷定這論證是正确的；但是，相應的公式在代換以後，産生的是一個邏輯的自明之理，即一個像&ldquo所有桌子都是桌子&rdquo這樣的陳述，盡管呈假言形式，例如&ldquo如果它是一張桌子，那麼它是一張桌子&rdquo，或者&ldquo如果一切的人皆要死，并且一切希臘人都是人，那麼，一切希臘人皆要死&rdquo。
（4）在按照某些推理規則作出的那些論證裡，這些推理規則決不可用作為前提；但是，相應的演算公式則是以這種方式使用的。
事實上，構造邏輯演算的主要動機之一是：通過把&ldquo邏輯學家的假言式&rdquo（即那些相應于某條推理規則的假言的自明之理）用作為一個前提，我們能夠去除相應的推理規則。
利用這種方法，我們能夠去掉所有不同的推理規則&mdash&mdash不包括上面提到的一條&ldquo推理原則&rdquo（或者兩條，如果我們利用&ldquo代換原則&rdquo的話，但它是可以避免的）。
換句話說，建立一種邏輯演算的方法就是系統地把大量推理規則簡約為一條（或兩條）的方法。
所有其他規則都由演算公式取代；這樣做的好處是：所有這些公式（事實上是無限多）本身都能夠系統地從為數甚少的公式推導（利用&ldquo推理原則&rdquo）出來。
我們已經指出，對每個衆所周知的推理規則，在一個衆所周知的邏輯演算中都存在一個斷定的（或可證明的）公式。
一般說起來，這裡逆關系不成立（盡管對假言公式還是成立的）。
例如，對于公式&ldquoP或非P&rdquo；或者&ldquo非（P和非P）&rdquo；以及對于許多其他非假言公式，并不存在相應的推理規則。
因此，必須仔細地區分推理規則和邏輯演算公式。
但是，這不必妨礙我們把這些公式的某個子集&mdash&mdash&ldquo邏輯學家的假言式&rdquo&mdash&mdash解釋為推理規則。
事實上，對每個這樣的假
我打算跟着他讨論這個問題，隻是到後面把讨論擴展到邏輯演算和算術演算的适用性。
可是，我剛才作出的邏輯推理規則和所謂的邏輯演算（像命題演算、類演算或關系演算）的區别還需要作些澄清，我将在第Ⅰ節裡先讨論推理規則和演算之間的區别和聯系，然後再讨論我們面臨的兩個主要問題：推理規則的适用性問題（第Ⅱ節裡）和邏輯演算的适用性問題（第Ⅷ節裡）。
我将間接提到和利用一些賴爾教授論文中的思想，以及他向亞裡士多德學會作的主席緻詞：《認識的方法和認識的對象》（1945）中的思想。
(3) Ⅰ 讓我們考慮用某種語言例如普通英語表述的論證或推理的一個簡單例子。
這個論證将由一系列陳述構成。
我們可以假定，某人論證說：&ldquo雷切爾是理查德的母親。
理查德是羅伯特的父親。
父親的母親是祖母。
因此，雷切爾是羅伯特的祖母。
&rdquo 最後一句中的&ldquo因此&rdquo可以被看作一種指示，表明說話者聲稱，他的論證是确鑿的或者正确的；或者換句話說，最後的陳述（結論）是正确地從前面三個陳述（前提）推出的。
他的這種說法，可以是正确的，也可以是錯誤的。
如果他在作這類聲稱時通常都是正确的，那麼我們可以說他懂得怎樣論證。
他也可能懂得怎樣論證，但不能夠用語詞向我們解釋他所遵循（和其他懂得怎樣論證的人一樣遵循）的這個程序的規則；正如一個鋼琴家可能懂得怎樣演奏得出色，但不能解釋精湛演奏所服從的程序的規則。
如果一個人懂得怎樣論證，但并不總是意識到程序的規則，那麼我們通常總說他是&ldquo直覺地&rdquo論證或推理。
如果我們現在讀完了上述論證，那麼，我們也許能夠直覺地說，這個論證是正确的。
幾乎沒有疑問，我們大多數人通常都在上述意義上直覺地進行推理。
表述和讨論日常直覺論證所服從的程序的規則，是一種非常專門和複雜的研究；那是專門屬于邏輯學家的工作。
每個有健全理智的人都懂得怎樣論證&mdash&mdash假如論證不是過于複雜的話&mdash&mdash但是，很少有人能夠表述這些操作所服從的規則，而這些規則我們可以稱作&ldquo推理規則&rdquo；也很少有人知道某個推理規則是正确的（知道它為什麼是正确的人也許還要少）。
利用變項和少數幾個其他人工符号，上述論證所服從的特定推理規則可表述為下面圖式：(4) 從以下形式的三個前提： 可以推出以下形式的一個結論：&ldquoxTz&rdquo。
這裡，任何個體的專名都可以代入&ldquox&rdquo、&ldquoy&rdquo和&ldquoz&rdquo，任何個體間關系的名稱都可以代入&ldquoR&rdquo、&ldquoS&rdquo和&ldquoT&rdquo；任何斷定x和y等等之間關系R成立的陳述，都可以代入&ldquoxRy&rdquo；當且僅當存在一個y，以緻xRy并且ySz，則x和z之間成立的一個關系的任何名稱都可以代入&ldquoR&lsquoS&rdquo；&ldquo＝&rdquo在這裡表示關系之間外延上的相等。
應該注意，這條推理規則構成了對某一類或某一形式的陳述的斷定。
這事實迥異于一種演算（在這裡是關系演算）的一個公式，例如： &ldquo對一切R、S和T；且對一切x、y和z：如果xRy，并且ySz，并且R&lsquoS＝T，那麼，xTz。
&rdquo 無疑，這個公式和我們的推理規則有所相似；事實上，它是對應于我們推理規則的那個陳述（在關系演算中）。
但是，它們并不是一回事：這公式有條件地對某一類的一切關系和個體有所斷定，而推理規則無條件地對某一類的一切陳述有所斷定，也即某種形式的每一個陳述都可無條件地從另一種形式的一組陳述推出。
同樣，我們應該區分例如傳統邏輯的推理規則（稱作&ldquoBar-bara&rdquo）： 和類演算的公式：&ldquo如果MaP并且SaM，那麼，SaP&rdquo（或者用比較現代的寫法：&ldquo如果c&subb并且a&subc，那麼a&subb&rdquo）；再如，區分那個稱為&ldquo命題邏輯的推理原則&rdquo的推理規則或肯定前件假言推理： 和命題演算的公式：&ldquo如果P，并且如果P那麼q，那麼，q。
&rdquo 事實上，對每個衆所周知的推理規則，都與之相應地有個衆所周知的演算公式，一個邏輯上真的假言或條件公式&mdash&mdash一個&ldquo邏輯學家的假言公式&rdquo（就如賴爾教授所稱的那樣）。
這種情況導緻把推理規則和相應的條件公式混淆起來。
但是，它們之間存在一些重要的差别。
（1）推理規則總是關于陳述的陳述，或關于陳述類的陳述（它們是&ldquo元語言的&rdquo）；而演算公式并非如此。
（2）推理規則是關于可演繹性的非條件陳述；但相應的演算公式則是有條件的或假言的即&ldquo如果&hellip&hellip那麼&rdquo的陳述，而它們并沒有涉及可演繹性、推理、前提或結論。
（3）一個推理規則，在用常項代入變項以後，就對某個論證（對這規則的&ldquo遵守&rdquo）有所斷定，就是說，斷定這論證是正确的；但是，相應的公式在代換以後，産生的是一個邏輯的自明之理，即一個像&ldquo所有桌子都是桌子&rdquo這樣的陳述，盡管呈假言形式，例如&ldquo如果它是一張桌子，那麼它是一張桌子&rdquo，或者&ldquo如果一切的人皆要死，并且一切希臘人都是人，那麼，一切希臘人皆要死&rdquo。
（4）在按照某些推理規則作出的那些論證裡，這些推理規則決不可用作為前提；但是，相應的演算公式則是以這種方式使用的。
事實上，構造邏輯演算的主要動機之一是：通過把&ldquo邏輯學家的假言式&rdquo（即那些相應于某條推理規則的假言的自明之理）用作為一個前提，我們能夠去除相應的推理規則。
利用這種方法，我們能夠去掉所有不同的推理規則&mdash&mdash不包括上面提到的一條&ldquo推理原則&rdquo（或者兩條，如果我們利用&ldquo代換原則&rdquo的話，但它是可以避免的）。
換句話說，建立一種邏輯演算的方法就是系統地把大量推理規則簡約為一條（或兩條）的方法。
所有其他規則都由演算公式取代；這樣做的好處是：所有這些公式（事實上是無限多）本身都能夠系統地從為數甚少的公式推導（利用&ldquo推理原則&rdquo）出來。
我們已經指出，對每個衆所周知的推理規則，在一個衆所周知的邏輯演算中都存在一個斷定的（或可證明的）公式。
一般說起來，這裡逆關系不成立（盡管對假言公式還是成立的）。
例如，對于公式&ldquoP或非P&rdquo；或者&ldquo非（P和非P）&rdquo；以及對于許多其他非假言公式，并不存在相應的推理規則。
因此，必須仔細地區分推理規則和邏輯演算公式。
但是，這不必妨礙我們把這些公式的某個子集&mdash&mdash&ldquo邏輯學家的假言式&rdquo&mdash&mdash解釋為推理規則。
事實上，對每個這樣的假