第二十四章 希臘早期的數學與天文學
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簡化之後）是說：假設有兩個數量，把較大的一個平分為兩半，把一半再平分為兩半，如此繼續下去，則最後就會得到一個數量要小于原來的兩個數量中較小的那一個。
換句話說，如果a大于b，則必有某一個整數n可以使2的n次方乘b大于a. 窮盡法有時候可以得出精确的結果，例如阿幾米德所做的求抛物線形的面積；有時候則隻能得出不斷的近似，例如當我們企圖求圓的面積的時候。
求圓的面積的問題也就是決定圓周與直徑的比率問題，這個比率叫作π。
阿幾米德在計算中使用了22/7的近似值，他做了内接的與外切的正96邊形，從而證明了π小于3又1/7并大于3又10/71.這種方法可以繼續進行到任何所需要的近似程度，并且這就是任何方法在這個問題上所能盡的一切能事了。
使用内接的與外切多邊形以求π的近似值，應該上溯到蘇格拉底同時代的人安提豐。
歐幾裡德——當我年青的時候，它還是唯一被公認的學童幾何學教科書——約當公元前300年，即當亞曆山大和亞裡士多德死後不久的幾年，生活于亞曆山大港。
他的《幾何原本》絕大部分并不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的結構則絕大部分是他的。
一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得贊歎。
他用有名的平行定理以處理平行線的辦法，具有着雙重的優點；演繹既是有力的，而又并不隐飾原始假設的可疑性。
比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似于魏爾斯特拉斯所介紹給十九世紀的分析數學的方法，于是就避免了有關無理數的種種困難。
然後歐幾裡德就過渡到一種幾何代數學，并在第十卷中探讨了無理數這個題目。
在這以後他就接着讨論立體幾何，并以求作正多面體的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的并曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》裡被提到過。
歐幾裡德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。
當然他也具有典型的希臘局限性：他的方法純粹是演繹的，并且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。
這些假設被他認為是毫無問題的，但是到了十九世紀，非歐幾何學便指明了它們有些部分是可以錯誤的，并且隻有憑觀察才能決定它們是不是錯誤。
歐幾裡德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。
據說有一個學生聽了一段證明之後便問，學幾何學能夠有什麼好處，于是歐幾裡德就叫進來一個奴隸說：“去拿三分錢給這個青年，因為他一定要從他所學的東西裡得到好處。
”然而鄙視實用卻實用主義地被證明了是有道理的。
在希臘時代沒有一個人會想象到圓錐曲線是有任何用處的；最後到了十七世紀伽利略才發現抛射體是沿着抛物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓而運動的。
于是，希臘人由于純粹愛好理論所做的工作，就一下子變成了解決戰術學與天文學的一把鑰匙了。
羅馬人的頭腦太過于實際而不能欣賞歐幾裡德；第一個提到歐幾裡德的羅馬人是西賽羅，在他那時候歐幾裡德或許還沒有拉丁文的譯本；并且在鮑依修斯（約當公元480年）以前，确乎是并沒有任何關于拉丁文譯本的記載。
阿拉伯人卻更能欣賞歐幾裡德；大約在公元760年，拜占庭皇帝曾送給過回教哈裡發一部歐幾裡德；大約在公元800年，當哈倫·阿爾·拉西德在位的時候，歐幾裡德就有了阿拉伯文的譯文了。
現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年從阿拉伯文譯過來的。
從這時以後，對幾何學的研究就逐漸在西方複活起來；但是一直要到文藝複興的晚期才做出了重要的進步。
我現在就要談天文學，希臘人在這方面的成就正象在幾何學方面是一樣地引人注目。
在希臘之前，巴比倫人和埃及人許多世紀以來的觀察已經奠定了一個基礎。
他們記錄下來了行星的視動，但是他們并不知道晨星和昏星就是一個。
巴比倫無疑地，而且埃及也可能，已經發現了蝕的周期，這就使人能相當可靠地預言月蝕，但是并不能預言日蝕；因為日蝕在同一個地點并不是總可以看得見的。
把一個直角分為九十度，把一度分為六十分，我們也是得之于巴比倫人的；巴比倫人喜歡六十這個數目，甚至于還有一種以六十進位的計數體系。
希臘人總是喜歡把他們的先鋒人物的智慧都歸功于是遊曆了埃及的結果，但是在希臘人以前，人們所成就的東西實在是很少的。
然而泰勒斯的預言月蝕，卻是受了外來影響的一個例子；我們沒有理由設想他在從埃及和巴比倫那裡所學到的東西之外又增加了什麼新東西，并且他的預言得以證實，也完全是幸運的偶合。
讓我們先看希臘人最早的一些發現與正确的假說。
阿那克西曼德認為大地是浮蕩着的，并沒有任何東西在支持它。
亞裡士多德①總是反對當時各種最好的假說的，所以他就反駁阿那克西曼德的理論，亦即大地位于中心永遠不動，因為它并沒有理由朝着一個方向運動而不朝另一個方向運動。
亞裡
換句話說，如果a大于b，則必有某一個整數n可以使2的n次方乘b大于a. 窮盡法有時候可以得出精确的結果，例如阿幾米德所做的求抛物線形的面積；有時候則隻能得出不斷的近似，例如當我們企圖求圓的面積的時候。
求圓的面積的問題也就是決定圓周與直徑的比率問題，這個比率叫作π。
阿幾米德在計算中使用了22/7的近似值，他做了内接的與外切的正96邊形，從而證明了π小于3又1/7并大于3又10/71.這種方法可以繼續進行到任何所需要的近似程度，并且這就是任何方法在這個問題上所能盡的一切能事了。
使用内接的與外切多邊形以求π的近似值，應該上溯到蘇格拉底同時代的人安提豐。
歐幾裡德——當我年青的時候，它還是唯一被公認的學童幾何學教科書——約當公元前300年，即當亞曆山大和亞裡士多德死後不久的幾年，生活于亞曆山大港。
他的《幾何原本》絕大部分并不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的結構則絕大部分是他的。
一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得贊歎。
他用有名的平行定理以處理平行線的辦法，具有着雙重的優點；演繹既是有力的，而又并不隐飾原始假設的可疑性。
比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似于魏爾斯特拉斯所介紹給十九世紀的分析數學的方法，于是就避免了有關無理數的種種困難。
然後歐幾裡德就過渡到一種幾何代數學，并在第十卷中探讨了無理數這個題目。
在這以後他就接着讨論立體幾何，并以求作正多面體的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的并曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》裡被提到過。
歐幾裡德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。
當然他也具有典型的希臘局限性：他的方法純粹是演繹的，并且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。
這些假設被他認為是毫無問題的，但是到了十九世紀，非歐幾何學便指明了它們有些部分是可以錯誤的，并且隻有憑觀察才能決定它們是不是錯誤。
歐幾裡德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。
據說有一個學生聽了一段證明之後便問，學幾何學能夠有什麼好處，于是歐幾裡德就叫進來一個奴隸說：“去拿三分錢給這個青年，因為他一定要從他所學的東西裡得到好處。
”然而鄙視實用卻實用主義地被證明了是有道理的。
在希臘時代沒有一個人會想象到圓錐曲線是有任何用處的；最後到了十七世紀伽利略才發現抛射體是沿着抛物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓而運動的。
于是，希臘人由于純粹愛好理論所做的工作，就一下子變成了解決戰術學與天文學的一把鑰匙了。
羅馬人的頭腦太過于實際而不能欣賞歐幾裡德；第一個提到歐幾裡德的羅馬人是西賽羅，在他那時候歐幾裡德或許還沒有拉丁文的譯本；并且在鮑依修斯（約當公元480年）以前，确乎是并沒有任何關于拉丁文譯本的記載。
阿拉伯人卻更能欣賞歐幾裡德；大約在公元760年，拜占庭皇帝曾送給過回教哈裡發一部歐幾裡德；大約在公元800年，當哈倫·阿爾·拉西德在位的時候，歐幾裡德就有了阿拉伯文的譯文了。
現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年從阿拉伯文譯過來的。
從這時以後，對幾何學的研究就逐漸在西方複活起來；但是一直要到文藝複興的晚期才做出了重要的進步。
我現在就要談天文學，希臘人在這方面的成就正象在幾何學方面是一樣地引人注目。
在希臘之前，巴比倫人和埃及人許多世紀以來的觀察已經奠定了一個基礎。
他們記錄下來了行星的視動，但是他們并不知道晨星和昏星就是一個。
巴比倫無疑地，而且埃及也可能，已經發現了蝕的周期，這就使人能相當可靠地預言月蝕，但是并不能預言日蝕；因為日蝕在同一個地點并不是總可以看得見的。
把一個直角分為九十度，把一度分為六十分，我們也是得之于巴比倫人的；巴比倫人喜歡六十這個數目，甚至于還有一種以六十進位的計數體系。
希臘人總是喜歡把他們的先鋒人物的智慧都歸功于是遊曆了埃及的結果，但是在希臘人以前，人們所成就的東西實在是很少的。
然而泰勒斯的預言月蝕，卻是受了外來影響的一個例子；我們沒有理由設想他在從埃及和巴比倫那裡所學到的東西之外又增加了什麼新東西，并且他的預言得以證實，也完全是幸運的偶合。
讓我們先看希臘人最早的一些發現與正确的假說。
阿那克西曼德認為大地是浮蕩着的，并沒有任何東西在支持它。
亞裡士多德①總是反對當時各種最好的假說的，所以他就反駁阿那克西曼德的理論，亦即大地位于中心永遠不動，因為它并沒有理由朝着一個方向運動而不朝另一個方向運動。
亞裡