第三章 畢達哥拉斯
關燈
小
中
大
怪的；然而對于那些時時經驗着由于數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們來說，對于那些喜愛數學的人們來說，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱令它是不真實的。
仿佛經驗的哲學家隻是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。
最有趣的是，我們從伯奈特叙述的畢達哥拉斯的倫理學裡，可以看出與近代價值相反的觀念。
譬如在一場足球賽裡，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀衆偉大得多。
至于國家，情形也類似：他們對于政治家（政治家是比賽中的競争者）的崇拜有甚于對于那些僅僅是旁觀者的人們。
這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、财閥、獨裁者，各有其自己的善與真的标準。
君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一起的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想莊嚴化了學院的生活。
君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。
應該注意到在這個定義裡也包括着聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽于沉思的而不是積極活動的。
近代關于真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關于真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由于與貴族政權相反對的工業文明所激起的。
無論人們對于容許奴隸制存在的社會制度懷着怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裡，我們才有了純粹的數學。
沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，并使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。
關于畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。
在這兩方面，他都有着無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想象的那樣是分離開來的。
大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯系在一起的，這就使它們具有一種虛幻的價值。
天文學和占星學聯系在一起，化學和煉丹術聯系在一起。
數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。
數學的知識看來是可靠的、準确的，而且可以應用于真實的世界。
此外，它還是由于純粹的思維而獲得的，并不需要觀察。
因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。
人們根據數學便設想思想是高于感官的，直覺是高于觀察的。
如果感官世界與數學不符，那麼感官世界就更糟糕了。
人們便以各種不同的方式尋求更能接近于數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形而上學與知識論中許多錯誤的根源。
這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。
正如大家所知道的，畢達哥拉斯說“萬物都是數”。
這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻并不是完全沒有意義的。
他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞裡的“調和中項”與“調和級數”就仍然保存着畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯系。
他把數想象為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。
我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。
他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。
這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。
他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。
他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關于直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等于另一邊的平方，即弦的平方。
埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。
但是顯然希臘人是最早觀察到3＋4＝5的，并且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數的發現，這似乎否定了他的全部哲學。
在一個等邊直角三角形裡，弦的平方等于每一邊平方的二倍。
讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是mn時。
那麼mn＝2。
如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，于是m和n必有一個是奇數。
現在m＝2n，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。
假設m＝2p.那末4p
仿佛經驗的哲學家隻是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。
最有趣的是，我們從伯奈特叙述的畢達哥拉斯的倫理學裡，可以看出與近代價值相反的觀念。
譬如在一場足球賽裡，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀衆偉大得多。
至于國家，情形也類似：他們對于政治家（政治家是比賽中的競争者）的崇拜有甚于對于那些僅僅是旁觀者的人們。
這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、财閥、獨裁者，各有其自己的善與真的标準。
君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一起的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想莊嚴化了學院的生活。
君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。
應該注意到在這個定義裡也包括着聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽于沉思的而不是積極活動的。
近代關于真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關于真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由于與貴族政權相反對的工業文明所激起的。
無論人們對于容許奴隸制存在的社會制度懷着怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裡，我們才有了純粹的數學。
沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，并使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。
關于畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。
在這兩方面，他都有着無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想象的那樣是分離開來的。
大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯系在一起的，這就使它們具有一種虛幻的價值。
天文學和占星學聯系在一起，化學和煉丹術聯系在一起。
數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。
數學的知識看來是可靠的、準确的，而且可以應用于真實的世界。
此外，它還是由于純粹的思維而獲得的，并不需要觀察。
因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。
人們根據數學便設想思想是高于感官的，直覺是高于觀察的。
如果感官世界與數學不符，那麼感官世界就更糟糕了。
人們便以各種不同的方式尋求更能接近于數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形而上學與知識論中許多錯誤的根源。
這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。
正如大家所知道的，畢達哥拉斯說“萬物都是數”。
這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻并不是完全沒有意義的。
他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞裡的“調和中項”與“調和級數”就仍然保存着畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯系。
他把數想象為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。
我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。
他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。
這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。
他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。
他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關于直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等于另一邊的平方，即弦的平方。
埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。
但是顯然希臘人是最早觀察到3＋4＝5的，并且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數的發現，這似乎否定了他的全部哲學。
在一個等邊直角三角形裡，弦的平方等于每一邊平方的二倍。
讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是mn時。
那麼mn＝2。
如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，于是m和n必有一個是奇數。
現在m＝2n，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。
假設m＝2p.那末4p