第五章 空間和時間的相對性
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中的三個點之間拉緊繩子，看看由此形成的三個角之和是否等于180°。
不過，在設計這樣一個實驗時必須記住兩點：一是實驗必須在非常大的尺度上進行，因為曲面或彎曲空間的一個微小部分對我們來說可能顯得很平坦，我們顯然不能通過在後院裡測量出來的結果來确定地球表面的曲率；二是此表面或空間也許在某些區域是平坦的，而在另一些區域是彎曲的，因此可能需要作完整的測量。
愛因斯坦在創立關于彎曲空間的廣義理論時包含了一個了不起的想法，那就是假定物理空間在巨大的質量附近會變彎曲；質量越大，曲率就越大。
為了用實驗來驗證這個假說，我們可以環繞一座大山釘三個木樁，在木樁之間拉緊繩子（圖40a），然後測量繩子在三個木樁處形成的夾角。
即使選擇了最大的山，哪怕是喜馬拉雅山，你也會發現，考慮到可能的測量誤差，三個角之和将正好等于180°。
但這個結果并不必然意味着愛因斯坦是錯的，并不表明大質量的存在不會使其周圍的空間發生彎曲，因為即使是喜馬拉雅山，可能也不會使周圍的空間彎曲到能用我們最精密的測量儀器記錄下來。
大家還記得伽利略試圖用遮光燈測量光速時的慘敗吧！（圖31） 圖40 因此不要灰心，找個更大的質量再試一次，比如太陽。
如果你在地球上某個點拴根繩子扯到一顆恒星上去，再從這顆恒星扯到另一顆恒星上，然後再回到地球上原來那個點，并讓太陽圍在繩子組成的三角形内。
你瞧，這下要成功了！你會看到，這三個角之和将與180°有顯著不同。
如果你沒有足夠長的繩子來作這項實驗，可以把繩子換成一束光線，因為光學告訴我們，光總是走所有可能路線中最短的。
圖40b是這項測量光線夾角的實驗的示意圖。
位于太陽兩側的恒星SI和SII發出的光線會聚到經緯儀中，這樣便測出了它們的夾角。
然後等太陽離開時再重複進行實驗，并把兩個角度加以比較。
如果有所不同，就證明太陽的質量改變了其周圍空間的曲率，使光線偏離了原路。
這個實驗最初是愛因斯坦為了檢驗自己的理論而提出來的。
将它與圖41所示的二維類比相比較，讀者們可以獲得更好的理解。
圖41 在通常條件下做愛因斯坦的這項實驗顯然有一個實際障礙：耀眼的太陽光使我們看不到它周圍的星星。
不過在日全食期間，星星在白天也是清晰可見的。
1919年，一支英國天文遠征隊前往西非的普林西比群島進行實際檢驗，那裡是當年日全食的最佳觀測地點。
結果發現，兩顆恒星的角距離在有太陽和沒有太陽介于其間的情況下相差1.61"±0.30"。
而愛因斯坦的理論預言這個值為1.75"。
後來所做的各種遠征也得到了類似的觀測結果。
當然，1.5角秒并不大，但已足以證明，太陽的質量的确迫使它周圍的空間發生了彎曲。
如果能用其他某個大得多的星體來代替太陽，關于三角形内角和的歐幾裡得定理就會出現若幹分甚至若幹度的誤差。
一個内部的觀察者需要一定的時間和豐富的想象力，才能習慣于彎曲三維空間的觀念，不過一旦被正确理解，它就會和我們所熟知的其他任何古典幾何學概念一樣清晰明确。
我們還需要再前進一步，才能完全理解愛因斯坦的彎曲空間理論及其與萬有引力這個基本問題的關系。
我們不要忘了，剛才一直在讨論的三維空間隻是充當着所有物理現象背景的四維時空世界的一部分。
因此，空間的彎曲本身僅僅反映了更一般的四維時空世界的彎曲，而表示這個世界中光線運動和物體運動的四維世界線必須被看成超空間中的曲線。
從這種觀點來考察問題，愛因斯坦得出了一個著名結論：重力現象僅僅是四維時空世界的彎曲所産生的效應。
事實上，太陽施加某個力直接作用于行星，使之圍繞太陽沿圓形軌道運動，這種舊的說法現在可以被視為不當而加以抛棄。
更準确的說法則是：太陽的質量使它周圍的時空世界發生了彎曲，圖30中行星的世界線之所以是那個樣子，僅僅因為它們是穿過彎曲空間的測地線。
這樣一來，作為一種獨立的力的重力概念就從我們的思想中徹底消失了。
取而代之的則是純粹的空間幾何學概念，在這個空間中，所有物體都按照其他大質量所造成的彎曲沿着&ldquo最直的線&rdquo或測地線運動。
四、封閉空間和開放空間 在結束本章之前，還須簡要讨論一下愛因斯坦時空幾何學中的另一個重要問題，那就是宇宙是否有限。
迄今為止，我們一直在讨論空間在大質量附近的局域彎曲，這就好像宇宙這張巨大的臉上散布着各種&ldquo空間粉刺&rdquo。
但撇開這些局域偏差不談，宇宙的臉是平坦的還是彎曲的？如果是彎曲的，又是以何種方式彎曲的呢？圖42對長有&ldquo粉刺&rdquo的平坦空間和兩種可能的彎曲空間做出了二維描繪。
所謂的&ldquo正曲率&rdquo空間對應于球面或其他任何封閉的幾何形體的表面，無論朝着什麼方向，它都以&ldquo同樣的方式&rdquo彎曲。
與之相反的&ldquo負曲率&rdquo空間則在一個方向上向上彎，在另一個方向上向下彎，很像一個馬鞍面。
這兩種彎曲的區别很容易弄清楚：你可以從足球和馬鞍上分别割下一塊皮子，試着把它們在桌面上攤平。
你會注意到，如果既不伸展又不收縮，那麼兩者都攤不成平面。
足球皮的邊緣必須伸展，馬鞍皮的邊緣必須收縮；足球皮的中心周圍沒有足夠的材料将它攤平，而馬鞍皮的材料又多了些，要想弄得平坦光滑總會折疊起來。
圖42 對于這一點還能作另一種表述。
假如我們（沿着表面）從某一點開始數距離它1英寸、2英寸、3英寸等範圍内&ldquo粉刺&rdquo的個數，我們會發現：在平坦的表面上，&ldquo粉刺&rdquo個數是像距離的平方即1，4，9&hellip那樣增長的；在球面上，&ldquo粉刺&rdquo數目的增長會比平面上慢一些；而在&ldquo馬鞍&rdquo面上則比平面上快一些。
于是，生活在表面上的二維影子科學家雖然無法從外面打量該表面的形狀，但仍然能通過計算落在不同半徑的圓内的粉刺數來覺察它的彎曲狀況。
這裡我們還會注意到，正曲率與負曲率之間的差别顯示于對相應三角形角度的測量。
正如我們在上一節看到的，畫在球面上的三角形的内角和總是大于180°。
如果你在馬鞍面上畫一個三角形，會發現它的内角和總是小于180°。
上述由曲面得到的結果可以推廣到彎曲的三維空間，并得到下表： 空間類型 遠距離狀況 三角形内角和 體積增長情況 正曲率（類似球面） 自行封閉 ＞180° 慢于半徑立方 平 直（類似平面） 無窮伸展 =180° 等于半徑立方 負曲率（類似馬鞍面） 無窮伸展 ＜180° 快于半徑立方 這張表可以用來回答我們生活的這個空間究竟是有限的還是無限的。
我們将在讨論宇宙大小的第十章來探讨這個問題。
不過，在設計這樣一個實驗時必須記住兩點：一是實驗必須在非常大的尺度上進行，因為曲面或彎曲空間的一個微小部分對我們來說可能顯得很平坦，我們顯然不能通過在後院裡測量出來的結果來确定地球表面的曲率；二是此表面或空間也許在某些區域是平坦的，而在另一些區域是彎曲的，因此可能需要作完整的測量。
愛因斯坦在創立關于彎曲空間的廣義理論時包含了一個了不起的想法，那就是假定物理空間在巨大的質量附近會變彎曲；質量越大，曲率就越大。
為了用實驗來驗證這個假說，我們可以環繞一座大山釘三個木樁，在木樁之間拉緊繩子（圖40a），然後測量繩子在三個木樁處形成的夾角。
即使選擇了最大的山，哪怕是喜馬拉雅山，你也會發現，考慮到可能的測量誤差，三個角之和将正好等于180°。
但這個結果并不必然意味着愛因斯坦是錯的，并不表明大質量的存在不會使其周圍的空間發生彎曲，因為即使是喜馬拉雅山，可能也不會使周圍的空間彎曲到能用我們最精密的測量儀器記錄下來。
大家還記得伽利略試圖用遮光燈測量光速時的慘敗吧！（圖31） 圖40 因此不要灰心，找個更大的質量再試一次，比如太陽。
如果你在地球上某個點拴根繩子扯到一顆恒星上去，再從這顆恒星扯到另一顆恒星上，然後再回到地球上原來那個點，并讓太陽圍在繩子組成的三角形内。
你瞧，這下要成功了！你會看到，這三個角之和将與180°有顯著不同。
如果你沒有足夠長的繩子來作這項實驗，可以把繩子換成一束光線，因為光學告訴我們，光總是走所有可能路線中最短的。
圖40b是這項測量光線夾角的實驗的示意圖。
位于太陽兩側的恒星SI和SII發出的光線會聚到經緯儀中，這樣便測出了它們的夾角。
然後等太陽離開時再重複進行實驗，并把兩個角度加以比較。
如果有所不同，就證明太陽的質量改變了其周圍空間的曲率，使光線偏離了原路。
這個實驗最初是愛因斯坦為了檢驗自己的理論而提出來的。
将它與圖41所示的二維類比相比較，讀者們可以獲得更好的理解。
圖41 在通常條件下做愛因斯坦的這項實驗顯然有一個實際障礙：耀眼的太陽光使我們看不到它周圍的星星。
不過在日全食期間，星星在白天也是清晰可見的。
1919年，一支英國天文遠征隊前往西非的普林西比群島進行實際檢驗，那裡是當年日全食的最佳觀測地點。
結果發現，兩顆恒星的角距離在有太陽和沒有太陽介于其間的情況下相差1.61"±0.30"。
而愛因斯坦的理論預言這個值為1.75"。
後來所做的各種遠征也得到了類似的觀測結果。
當然，1.5角秒并不大，但已足以證明，太陽的質量的确迫使它周圍的空間發生了彎曲。
如果能用其他某個大得多的星體來代替太陽，關于三角形内角和的歐幾裡得定理就會出現若幹分甚至若幹度的誤差。
一個内部的觀察者需要一定的時間和豐富的想象力，才能習慣于彎曲三維空間的觀念，不過一旦被正确理解，它就會和我們所熟知的其他任何古典幾何學概念一樣清晰明确。
我們還需要再前進一步，才能完全理解愛因斯坦的彎曲空間理論及其與萬有引力這個基本問題的關系。
我們不要忘了，剛才一直在讨論的三維空間隻是充當着所有物理現象背景的四維時空世界的一部分。
因此，空間的彎曲本身僅僅反映了更一般的四維時空世界的彎曲，而表示這個世界中光線運動和物體運動的四維世界線必須被看成超空間中的曲線。
從這種觀點來考察問題，愛因斯坦得出了一個著名結論：重力現象僅僅是四維時空世界的彎曲所産生的效應。
事實上，太陽施加某個力直接作用于行星，使之圍繞太陽沿圓形軌道運動，這種舊的說法現在可以被視為不當而加以抛棄。
更準确的說法則是：太陽的質量使它周圍的時空世界發生了彎曲，圖30中行星的世界線之所以是那個樣子，僅僅因為它們是穿過彎曲空間的測地線。
這樣一來，作為一種獨立的力的重力概念就從我們的思想中徹底消失了。
取而代之的則是純粹的空間幾何學概念，在這個空間中，所有物體都按照其他大質量所造成的彎曲沿着&ldquo最直的線&rdquo或測地線運動。
四、封閉空間和開放空間 在結束本章之前，還須簡要讨論一下愛因斯坦時空幾何學中的另一個重要問題，那就是宇宙是否有限。
迄今為止，我們一直在讨論空間在大質量附近的局域彎曲，這就好像宇宙這張巨大的臉上散布着各種&ldquo空間粉刺&rdquo。
但撇開這些局域偏差不談，宇宙的臉是平坦的還是彎曲的？如果是彎曲的，又是以何種方式彎曲的呢？圖42對長有&ldquo粉刺&rdquo的平坦空間和兩種可能的彎曲空間做出了二維描繪。
所謂的&ldquo正曲率&rdquo空間對應于球面或其他任何封閉的幾何形體的表面，無論朝着什麼方向，它都以&ldquo同樣的方式&rdquo彎曲。
與之相反的&ldquo負曲率&rdquo空間則在一個方向上向上彎，在另一個方向上向下彎，很像一個馬鞍面。
這兩種彎曲的區别很容易弄清楚：你可以從足球和馬鞍上分别割下一塊皮子，試着把它們在桌面上攤平。
你會注意到，如果既不伸展又不收縮，那麼兩者都攤不成平面。
足球皮的邊緣必須伸展，馬鞍皮的邊緣必須收縮；足球皮的中心周圍沒有足夠的材料将它攤平，而馬鞍皮的材料又多了些，要想弄得平坦光滑總會折疊起來。
圖42 對于這一點還能作另一種表述。
假如我們（沿着表面）從某一點開始數距離它1英寸、2英寸、3英寸等範圍内&ldquo粉刺&rdquo的個數，我們會發現：在平坦的表面上，&ldquo粉刺&rdquo個數是像距離的平方即1，4，9&hellip那樣增長的；在球面上，&ldquo粉刺&rdquo數目的增長會比平面上慢一些；而在&ldquo馬鞍&rdquo面上則比平面上快一些。
于是，生活在表面上的二維影子科學家雖然無法從外面打量該表面的形狀，但仍然能通過計算落在不同半徑的圓内的粉刺數來覺察它的彎曲狀況。
這裡我們還會注意到，正曲率與負曲率之間的差别顯示于對相應三角形角度的測量。
正如我們在上一節看到的，畫在球面上的三角形的内角和總是大于180°。
如果你在馬鞍面上畫一個三角形，會發現它的内角和總是小于180°。
上述由曲面得到的結果可以推廣到彎曲的三維空間，并得到下表： 空間類型 遠距離狀況 三角形内角和 體積增長情況 正曲率（類似球面） 自行封閉 ＞180° 慢于半徑立方 平 直（類似平面） 無窮伸展 =180° 等于半徑立方 負曲率（類似馬鞍面） 無窮伸展 ＜180° 快于半徑立方 這張表可以用來回答我們生活的這個空間究竟是有限的還是無限的。
我們将在讨論宇宙大小的第十章來探讨這個問題。