第二章 論時間與空間觀念之無限可分性
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任何可資為用的中介；我在上文給出的第二個答複，其實就是以後面這個準則為基礎。
有人主張說，我們無法想象一個沒有寬度的長度，可是事實上，這是可以的。
我們可以借助于抽象劃分的方式，将二者分離，單獨研究其一，後者先不予考慮；這就好比我們在比較兩個城鎮的道路時，隻考慮其長度，先忽略其寬度的差異一樣。
在自然社會和大腦認知中，長度與寬度是不可分的；但這與上述的那種研究推理方式并不相悖，我們通過這一方式可以獲得某些局部但理性的了解。
接下來駁斥這一反對觀點的過程中，我不準備再引用前面已經闡述清楚的那個論證，即如果人腦對某一對象的認知方面不存在一個最小的限度，那麼它的容量與認知能力必然是無窮的，隻有這樣，大腦才能了解構成延伸認知的所有部分。
在此處，我試圖在找出這一反對觀點的推理中存在的謬誤。
面，是立體的終結；線，是面的終結；點，是線的終結。
但我敢說，如果對這些點、線或面的認知是不可分割的，那我們便無從想象與覺察到這些終結，或者說是臨界點。
假設這些認知是無限可分的，然後讓想象停留在最後的面、線或點的認知上，那它幾乎立刻就能發現，這一認知會進一步分裂成各個部分；而各個部分又産生新的分裂，如此循環，想象永遠抓不住最後那個認知，于是永遠不存在終結認知。
經過這些分裂之後産生的認知并不與最初的更為接近終結認知。
每一個分子借助于每一次新的分裂而使人無法掌控，水銀也是如此情形。
但是，現實中必然存在某個特定的認知，作為每一個擁有有限數量認知的終結，而且必須說明的是，這一終結認知本身無法再分裂成部分或次級的認知，否則的話，那些最後的部分或次級的認知才是終結認知（這樣一直循環的話就沒有盡頭）。
如此就可清楚地驗證面、線和點的認知是無法再細分了，也就是說，在厚度上，面無法再分裂；在寬度和厚度上，線無法再分裂；在長度、寬度和厚度三方面，點都無法再分裂。
經院哲學家們往往會選擇性忽視這一有力的論證，他們之中有些人認為，自然在那些無限可分的物質分子中摻雜了一定數量的數學點，以便為所有物質創造一個終結載體；他們之中還有一些人會盲目地指責，試圖通過大量毫無意義的挑刺來逃避這一有力的論證。
這兩種反對方式，以及反對者們，都無法真正反駁我的觀點。
一個是躲起來不敢戰鬥的，一個是直接繳械投降的，都相當于在承認他們對手的強大。
由此可以證明，數學的定義完全推翻了那些理證。
如果存在符合該定義的不可分點、線與面的認知，那這些點線面也就有可能存在；但如果不存在如此認知，那麼我們便不可能想象得到上述三者任何一個的終結載體，而如果沒有這一認識的話，那相應的幾何理證也就不成立。
不過我将進一步主張，這些理證完全不具備建立如無限可分一樣的某個準則的實力。
因為，對于過于微小的對象而言，這些理證并非是合适的論據，它們所依靠的認知不精準，所依賴的原理也不真正成立。
幾何學涉及數量的比例時，我們不應該對其正确性與精确性過于苛刻。
幾何的例證還遠不能達到如此完美的程度。
它隻能粗略而有些任意地設定物體的維度與比例。
它的錯誤之處影響不大，而且倘若幾何學不是那麼追求完美的話，這些錯誤根本就不會存在。
首先我想請教數學家們，你們所說的一條線與一個面等于、大于或小于另一條線與另一個面，這是什麼意思呢？不論他是屬于哪個流派，不論他是否主張延伸認知是由不可分點組成還是由無限可分的數量組成，讓他來回答我這個問題。
我相信，不管是誰，他都會覺得這一問題很棘手。
很少甚至可以說沒有數學家會擁護不可分點的假設，可正是這些數學家對這個問題提出了最快捷而且精當的答複。
他們隻需說，如果點的數量相同，那與之對應的線或面也就相同；而點的數量與比例如果發生變化，與之對應的線與面也會随之變化。
雖然這看似合理，也很明顯，可是我幾乎可以斷定，這一相等标準是完全不成立的；我們在判斷一些對象之間是相等或不相等時，并不是以這一标準為依據的。
因為，構成線與面的所有點，不論是視覺還是觸覺感知到的，都是如此的細小微妙，而且它們之間并非泾渭分明，我們很容易将之弄混，而結果便是，大腦無從估算出它們的數量，因而也就無法為我們做出判斷提供一個标準。
沒有誰可以準确測量出一英寸所含的點少于一英尺所含的點，或一英尺比一埃耳或其他較長的尺度所含的點少。
因此，我們很少把這種計量法當作判斷多個對象相等或不相等的标準。
至于假設延伸是無限可分的人，他們無法利用這個答複或是計量一條線或一個面的構成部分，來判斷這條線或這個面是否與另一線或面相等。
因為根據他們的假設，不論是最小還是最大的形态都同樣包含無數個部分；而這些無數個部分之間彼此又不可能會相等；所以任何空間部分上的相等與不相等不取決于它們各自部分的數目及其比例。
當然，也有人會說，一埃耳和一碼不相等之處在于組成二者的英尺數目不同，同樣地，一英尺與一碼不相等之處在于組成二者的英寸數目不同。
但由于在長度方面我們所說的英寸在各個不同對象之間是一樣的，這樣無限細分下去，我們的大腦最終還是無法把握這些微小的數量，而正是借助于這些相等物才能發現其相等關系；于是我們不得不另尋他徑，建立一個和部分計數法不同的标準。
有人主張說，所謂的相等，其實用協調一詞更為妥當。
當我們說兩個形态相等，我們指的是二者相互重合，二者之間各個部分都互相對應。
我們可以這麼考慮來判斷這一定義的内涵：嚴格而言，相等并非形态本身的一個特性，它是不同形态之間的一種關系，隻是大腦對不同形态進行比較而做出的判斷。
因此，如果相等關系必須以不同形态之間相互重合相互接觸為前提，那首先我們至少應有對這些部分的清楚概念，而且能夠想象得到這些部分是如何接觸。
很顯然，這樣的話，我們就要把這些部分不斷細分下去使之成為我們所能想象的最小對象；因為較大部分之間的相互接觸是永遠無法使這些形态成為相等物的。
我們所能想象得到的最小認知物就是數學點，因而這個相等标準與點的數量相等是一樣的。
而在前面就已說過，這個标準雖然準确，但毫無用處。
為解開這一謎團，我們必須從别處找尋答案。
我們都知道，眼睛，或者說大腦，通過一眼觀察某個對象的比例，在不研究它的微小部分數量的情況下，可以判斷出它與另一個對象之間的關系，是相等的，還是說前者比後者大或者較小。
這種判斷方式不僅常見，很多時候還可以說是完全正确的。
當我們看到一碼和一英尺呈現在眼前，它們的長度也就一目了然，我們便不會懷疑前者比後者長，就像我們不會懷疑那些最為清楚自明的準則一樣。
因此，大腦在觀察某一物體時，會形成三種比例認識，把它稱之為較大、較小和相等的。
雖然這種比例認識有時完全正确，但這并非永遠如此，我們在這方面的判斷，和有關其他方面的判斷一樣，總是不能免于錯誤，不受質疑。
所以我們借助于檢查與反省不斷修正我們最初的意見：我們會颠覆之前形成的認識，比如原來不相等的最後發現是相等的，原來是大的最後發現是較小的。
除此之外，為校正我們可能會出的錯，我們往往把觀察對象串聯并列起來，加以比較與驗證。
倘若無法串聯并列，我們又會借助于某種共同而且不變的測量方式，将之進行連續的度量，然後将結果反饋出來。
而根據度量工具的精确性程度，以及我們比較時的認真程度，我們的校正結果并不一樣，而且容許新的校正。
當大腦習慣于這些判斷和校正，發現在眼睛看來是相等的兩個對象的那一比例，同樣也使這兩個形态互相符合，并且符合測量的尺度時，我們便從這種或粗略或精确的測量方式中得出一個有關相等的混合的概念。
不過，這還遠遠不夠。
因為，合理的推理告訴我們，除了可以直接呈現于感官之前的物體之外，還存在着遠比之微小的；荒謬的推理試圖說服我們，還存在着無限微小的。
從此處可以清楚看到，我們并不具備可以完全使我們免于錯誤與不确定因素的測量方式或工具。
我們知道，微小的部分倘若在數量上增加或減少了一個，我們無論是在眼睛觀察還是用工具測量過程中，都無法察覺到。
我們假想，兩個本是相等的形态在經過如此的添加或減少之後，必然不可能還是相等的。
于是我們假定一個相等的标準，這一标準無論用眼睛觀察還是用工具測量都不存在任何毛病，而相等的形态必然完全符合該标準規定的比例。
再次說明，這一标準僅存在于想象之中。
因為，如前面所說，所謂的相等，原本就是對不同形态通過串聯并列和工具測量的方式來校正的過程，而完全正确、無須任何校正這樣一種相等的概念隻不過是大腦的假想，是全然無意義的，我們無法理解其存在。
但即使如此，我們會有這一假想卻是再正常不過；即使促使大腦開展某一行為的理由不複存在，大腦仍然會按照該方式繼續運行下去，這同樣很正常。
這一點在時間方面表現得尤其突出。
在這一方面，我們顯然無法精确地确認各部分的比例，此處的精确程度甚至還不及延伸認知方面。
盡管如此，我們對時間并遠非完美的測量方式，與其允許進一步校正的精确度，卻為我們提供了一個略微含糊但完整而符合标準的相等概念。
除此之外，還有很多其他方面會出現與之同樣的情形。
一個音樂家，他的耳朵日漸靈敏，借助于反複的校正與反思，他的聽覺會日漸精細；即使他突然接觸到一個陌生的主題，這一心理活動仍然繼續，于是他看似是在憑空之中可以獲得一個完整的第三音或第八音的概念，雖然他無從知曉這一标準是從何得來。
一個畫家，同樣地，對顔色也具備這種虛構的能力。
又比如一個機械家，他可以知曉機械的運作。
畫家可以設想到明暗，機械家可以設想到快慢，他們都獲得了一種感官所無法感知的能力，可以直接對所研究的對象進行比較和判斷。
我們可以将這一推理應用于曲線和直線。
對人的感官而言，沒有比直線和曲線之間的區别更明顯的了，所以也就沒有比這二者的認知更容易形成的了。
盡管這些認知如此容易形成，但為之提供一個清楚的定義，将直線與曲線的具體界限明白表現出來，卻幾乎是不可能的。
我們在紙上或任何連續面上畫線條時，必然存在某種規律，使得單獨的點從一處移動到另一處，從而形成一條曲線或直線的完整感知；但這種規律，或者說是秩序，是無從知曉的，我們觀察到的隻不過是聯合的結果。
也就是說，即使根據不可分點這一理論體系，我們對這些物體認知到的，也僅僅隻是一個模糊的概念，無從知曉其标準。
而如果根據無限可分這一理論體系，我們甚至都無法達成這一結論，隻能退歸到具體的某一對象，以此為标準來衡量判斷什麼是直線什麼是曲線。
雖然我們無法精确地給這些線條下定義，也不能用科學的方式将之區分，但這并未帶來多大妨礙，我們還是可以通過多次的試驗來建立一個相對正确可靠的準則，然後借助于反複的比較和更為細緻深入的思考來校正最初的現象認知。
正是通過這些校正，以及心理仍在進行的活動，我們才能形成對這些形态完善标準的模糊感受，雖然還是無法将之理解清楚，也不能清楚地加以解釋。
的确，數學家說兩點之間直線最短，然後就認為如此就給直線下了一個精确的定義。
但是我有異議。
第一，我發現，這句話與其說是在下定義，還不如說是展示直線的一個特征而已。
随便問任何一個人，一提到直線，他難道不是立刻想到某個特殊現象，而非第一時間想起這特征的嗎？我們可以單獨來理解一條線，但要理解線的定義，如果不将之與我們可以想象出的其他線條加以比較，這是不可能的。
在日常生活中有一個颠撲不破的定論，即兩地之間最直的路線往往是最短的；而如果我們的直線認知與兩地之間最短路線這一認知不存在不同的話，那前面的定義不就成了最短的路線總是最短的，這無疑是極其荒謬的。
其次，我要重複一遍我們之前已經達成的定論，即不存在對相等或不相等的精确認知，同樣，也沒有對直線或曲線的精确認知，因而二者之間無法互相提供一個完善的标準來判斷。
而精确的認知，無法産生在這麼松散不清、模糊不定的基礎上。
我們對平面的認知與之相同，亦不存在一個精确的标準。
除了我們看到的具體的平面對象并加以比較以外，我們沒有其他方式可用于分辨出各個平面的區别。
數學家武斷而偏執地把平面說成是直線移動的結果。
對此我們可以很快反駁說：我們的平面認知不依賴于直線移動形成平面這一方式，正如我們的橢圓認知不依賴于錐形一樣。
要知道，我們對直線的認知并不比平面認知精确多少。
直線可能以不規則的方式移動，從而形成一個與平面不同的形态；要使這兩個平面相同，我們必須假設這條線是沿着兩條平行的直線在同一平面進行移動，這就産生了一個循環論證，用物體本身來解釋自身的存在，沒有盡頭。
這樣看來，幾何學上最基礎的認知，即相等與不相等，直線與平面，根據我們通常的理解方式，我們對這些的認知都談不上精确。
有時候我們存在疑問，但又說不出來，在什麼條件下那些具體的圖形是相等的，在什麼條件下一條線可稱為直線、一個面稱為平面，我們就是無法對這些圖形或其比例産生穩固不變的實質性認知。
我們還是隻能借助于那些個脆弱而易錯的判斷，這判斷是我們通過最初的觀察以及之後用兩腳規或其他常見的測量工具校正後得來的；如果我們再假設可以添加進一步的校正，那樣的話，這一校正不僅無用，還不現實。
如果我們求助于神，就像人們通常所做的那樣，假設是全能的神創造了一切完美的幾何形态，畫出的直線完全不存在一絲彎曲，這同樣徒勞無功。
我們知道
有人主張說，我們無法想象一個沒有寬度的長度，可是事實上，這是可以的。
我們可以借助于抽象劃分的方式，将二者分離，單獨研究其一，後者先不予考慮；這就好比我們在比較兩個城鎮的道路時，隻考慮其長度，先忽略其寬度的差異一樣。
在自然社會和大腦認知中，長度與寬度是不可分的；但這與上述的那種研究推理方式并不相悖，我們通過這一方式可以獲得某些局部但理性的了解。
接下來駁斥這一反對觀點的過程中，我不準備再引用前面已經闡述清楚的那個論證，即如果人腦對某一對象的認知方面不存在一個最小的限度，那麼它的容量與認知能力必然是無窮的，隻有這樣，大腦才能了解構成延伸認知的所有部分。
在此處，我試圖在找出這一反對觀點的推理中存在的謬誤。
面，是立體的終結；線，是面的終結；點，是線的終結。
但我敢說，如果對這些點、線或面的認知是不可分割的，那我們便無從想象與覺察到這些終結，或者說是臨界點。
假設這些認知是無限可分的，然後讓想象停留在最後的面、線或點的認知上，那它幾乎立刻就能發現，這一認知會進一步分裂成各個部分；而各個部分又産生新的分裂，如此循環，想象永遠抓不住最後那個認知，于是永遠不存在終結認知。
經過這些分裂之後産生的認知并不與最初的更為接近終結認知。
每一個分子借助于每一次新的分裂而使人無法掌控，水銀也是如此情形。
但是，現實中必然存在某個特定的認知，作為每一個擁有有限數量認知的終結，而且必須說明的是，這一終結認知本身無法再分裂成部分或次級的認知，否則的話，那些最後的部分或次級的認知才是終結認知（這樣一直循環的話就沒有盡頭）。
如此就可清楚地驗證面、線和點的認知是無法再細分了，也就是說，在厚度上，面無法再分裂；在寬度和厚度上，線無法再分裂；在長度、寬度和厚度三方面，點都無法再分裂。
經院哲學家們往往會選擇性忽視這一有力的論證，他們之中有些人認為，自然在那些無限可分的物質分子中摻雜了一定數量的數學點，以便為所有物質創造一個終結載體；他們之中還有一些人會盲目地指責，試圖通過大量毫無意義的挑刺來逃避這一有力的論證。
這兩種反對方式，以及反對者們，都無法真正反駁我的觀點。
一個是躲起來不敢戰鬥的，一個是直接繳械投降的，都相當于在承認他們對手的強大。
由此可以證明，數學的定義完全推翻了那些理證。
如果存在符合該定義的不可分點、線與面的認知，那這些點線面也就有可能存在；但如果不存在如此認知，那麼我們便不可能想象得到上述三者任何一個的終結載體，而如果沒有這一認識的話，那相應的幾何理證也就不成立。
不過我将進一步主張，這些理證完全不具備建立如無限可分一樣的某個準則的實力。
因為，對于過于微小的對象而言，這些理證并非是合适的論據，它們所依靠的認知不精準，所依賴的原理也不真正成立。
幾何學涉及數量的比例時，我們不應該對其正确性與精确性過于苛刻。
幾何的例證還遠不能達到如此完美的程度。
它隻能粗略而有些任意地設定物體的維度與比例。
它的錯誤之處影響不大，而且倘若幾何學不是那麼追求完美的話，這些錯誤根本就不會存在。
首先我想請教數學家們，你們所說的一條線與一個面等于、大于或小于另一條線與另一個面，這是什麼意思呢？不論他是屬于哪個流派，不論他是否主張延伸認知是由不可分點組成還是由無限可分的數量組成，讓他來回答我這個問題。
我相信，不管是誰，他都會覺得這一問題很棘手。
很少甚至可以說沒有數學家會擁護不可分點的假設，可正是這些數學家對這個問題提出了最快捷而且精當的答複。
他們隻需說，如果點的數量相同，那與之對應的線或面也就相同；而點的數量與比例如果發生變化，與之對應的線與面也會随之變化。
雖然這看似合理，也很明顯，可是我幾乎可以斷定，這一相等标準是完全不成立的；我們在判斷一些對象之間是相等或不相等時，并不是以這一标準為依據的。
因為，構成線與面的所有點，不論是視覺還是觸覺感知到的，都是如此的細小微妙，而且它們之間并非泾渭分明，我們很容易将之弄混，而結果便是，大腦無從估算出它們的數量，因而也就無法為我們做出判斷提供一個标準。
沒有誰可以準确測量出一英寸所含的點少于一英尺所含的點，或一英尺比一埃耳或其他較長的尺度所含的點少。
因此，我們很少把這種計量法當作判斷多個對象相等或不相等的标準。
至于假設延伸是無限可分的人，他們無法利用這個答複或是計量一條線或一個面的構成部分，來判斷這條線或這個面是否與另一線或面相等。
因為根據他們的假設，不論是最小還是最大的形态都同樣包含無數個部分；而這些無數個部分之間彼此又不可能會相等；所以任何空間部分上的相等與不相等不取決于它們各自部分的數目及其比例。
當然，也有人會說，一埃耳和一碼不相等之處在于組成二者的英尺數目不同，同樣地，一英尺與一碼不相等之處在于組成二者的英寸數目不同。
但由于在長度方面我們所說的英寸在各個不同對象之間是一樣的，這樣無限細分下去，我們的大腦最終還是無法把握這些微小的數量，而正是借助于這些相等物才能發現其相等關系；于是我們不得不另尋他徑，建立一個和部分計數法不同的标準。
有人主張說，所謂的相等，其實用協調一詞更為妥當。
當我們說兩個形态相等，我們指的是二者相互重合，二者之間各個部分都互相對應。
我們可以這麼考慮來判斷這一定義的内涵：嚴格而言，相等并非形态本身的一個特性，它是不同形态之間的一種關系，隻是大腦對不同形态進行比較而做出的判斷。
因此，如果相等關系必須以不同形态之間相互重合相互接觸為前提，那首先我們至少應有對這些部分的清楚概念，而且能夠想象得到這些部分是如何接觸。
很顯然，這樣的話，我們就要把這些部分不斷細分下去使之成為我們所能想象的最小對象；因為較大部分之間的相互接觸是永遠無法使這些形态成為相等物的。
我們所能想象得到的最小認知物就是數學點，因而這個相等标準與點的數量相等是一樣的。
而在前面就已說過，這個标準雖然準确，但毫無用處。
為解開這一謎團，我們必須從别處找尋答案。
我們都知道，眼睛，或者說大腦，通過一眼觀察某個對象的比例，在不研究它的微小部分數量的情況下，可以判斷出它與另一個對象之間的關系，是相等的，還是說前者比後者大或者較小。
這種判斷方式不僅常見，很多時候還可以說是完全正确的。
當我們看到一碼和一英尺呈現在眼前，它們的長度也就一目了然，我們便不會懷疑前者比後者長，就像我們不會懷疑那些最為清楚自明的準則一樣。
因此，大腦在觀察某一物體時，會形成三種比例認識，把它稱之為較大、較小和相等的。
雖然這種比例認識有時完全正确，但這并非永遠如此，我們在這方面的判斷，和有關其他方面的判斷一樣，總是不能免于錯誤，不受質疑。
所以我們借助于檢查與反省不斷修正我們最初的意見：我們會颠覆之前形成的認識，比如原來不相等的最後發現是相等的，原來是大的最後發現是較小的。
除此之外，為校正我們可能會出的錯，我們往往把觀察對象串聯并列起來，加以比較與驗證。
倘若無法串聯并列，我們又會借助于某種共同而且不變的測量方式，将之進行連續的度量，然後将結果反饋出來。
而根據度量工具的精确性程度，以及我們比較時的認真程度，我們的校正結果并不一樣，而且容許新的校正。
當大腦習慣于這些判斷和校正，發現在眼睛看來是相等的兩個對象的那一比例，同樣也使這兩個形态互相符合，并且符合測量的尺度時，我們便從這種或粗略或精确的測量方式中得出一個有關相等的混合的概念。
不過，這還遠遠不夠。
因為，合理的推理告訴我們，除了可以直接呈現于感官之前的物體之外，還存在着遠比之微小的；荒謬的推理試圖說服我們，還存在着無限微小的。
從此處可以清楚看到，我們并不具備可以完全使我們免于錯誤與不确定因素的測量方式或工具。
我們知道，微小的部分倘若在數量上增加或減少了一個，我們無論是在眼睛觀察還是用工具測量過程中，都無法察覺到。
我們假想，兩個本是相等的形态在經過如此的添加或減少之後，必然不可能還是相等的。
于是我們假定一個相等的标準，這一标準無論用眼睛觀察還是用工具測量都不存在任何毛病，而相等的形态必然完全符合該标準規定的比例。
再次說明，這一标準僅存在于想象之中。
因為，如前面所說，所謂的相等，原本就是對不同形态通過串聯并列和工具測量的方式來校正的過程，而完全正确、無須任何校正這樣一種相等的概念隻不過是大腦的假想，是全然無意義的，我們無法理解其存在。
但即使如此，我們會有這一假想卻是再正常不過；即使促使大腦開展某一行為的理由不複存在，大腦仍然會按照該方式繼續運行下去，這同樣很正常。
這一點在時間方面表現得尤其突出。
在這一方面，我們顯然無法精确地确認各部分的比例，此處的精确程度甚至還不及延伸認知方面。
盡管如此，我們對時間并遠非完美的測量方式，與其允許進一步校正的精确度，卻為我們提供了一個略微含糊但完整而符合标準的相等概念。
除此之外，還有很多其他方面會出現與之同樣的情形。
一個音樂家，他的耳朵日漸靈敏，借助于反複的校正與反思，他的聽覺會日漸精細；即使他突然接觸到一個陌生的主題，這一心理活動仍然繼續，于是他看似是在憑空之中可以獲得一個完整的第三音或第八音的概念，雖然他無從知曉這一标準是從何得來。
一個畫家，同樣地，對顔色也具備這種虛構的能力。
又比如一個機械家，他可以知曉機械的運作。
畫家可以設想到明暗，機械家可以設想到快慢，他們都獲得了一種感官所無法感知的能力，可以直接對所研究的對象進行比較和判斷。
我們可以将這一推理應用于曲線和直線。
對人的感官而言，沒有比直線和曲線之間的區别更明顯的了，所以也就沒有比這二者的認知更容易形成的了。
盡管這些認知如此容易形成，但為之提供一個清楚的定義，将直線與曲線的具體界限明白表現出來，卻幾乎是不可能的。
我們在紙上或任何連續面上畫線條時，必然存在某種規律，使得單獨的點從一處移動到另一處，從而形成一條曲線或直線的完整感知；但這種規律，或者說是秩序，是無從知曉的，我們觀察到的隻不過是聯合的結果。
也就是說，即使根據不可分點這一理論體系，我們對這些物體認知到的，也僅僅隻是一個模糊的概念，無從知曉其标準。
而如果根據無限可分這一理論體系，我們甚至都無法達成這一結論，隻能退歸到具體的某一對象，以此為标準來衡量判斷什麼是直線什麼是曲線。
雖然我們無法精确地給這些線條下定義，也不能用科學的方式将之區分，但這并未帶來多大妨礙，我們還是可以通過多次的試驗來建立一個相對正确可靠的準則，然後借助于反複的比較和更為細緻深入的思考來校正最初的現象認知。
正是通過這些校正，以及心理仍在進行的活動，我們才能形成對這些形态完善标準的模糊感受，雖然還是無法将之理解清楚，也不能清楚地加以解釋。
的确，數學家說兩點之間直線最短，然後就認為如此就給直線下了一個精确的定義。
但是我有異議。
第一，我發現，這句話與其說是在下定義，還不如說是展示直線的一個特征而已。
随便問任何一個人，一提到直線，他難道不是立刻想到某個特殊現象，而非第一時間想起這特征的嗎？我們可以單獨來理解一條線，但要理解線的定義，如果不将之與我們可以想象出的其他線條加以比較，這是不可能的。
在日常生活中有一個颠撲不破的定論，即兩地之間最直的路線往往是最短的；而如果我們的直線認知與兩地之間最短路線這一認知不存在不同的話，那前面的定義不就成了最短的路線總是最短的，這無疑是極其荒謬的。
其次，我要重複一遍我們之前已經達成的定論，即不存在對相等或不相等的精确認知，同樣，也沒有對直線或曲線的精确認知，因而二者之間無法互相提供一個完善的标準來判斷。
而精确的認知，無法産生在這麼松散不清、模糊不定的基礎上。
我們對平面的認知與之相同，亦不存在一個精确的标準。
除了我們看到的具體的平面對象并加以比較以外，我們沒有其他方式可用于分辨出各個平面的區别。
數學家武斷而偏執地把平面說成是直線移動的結果。
對此我們可以很快反駁說：我們的平面認知不依賴于直線移動形成平面這一方式，正如我們的橢圓認知不依賴于錐形一樣。
要知道，我們對直線的認知并不比平面認知精确多少。
直線可能以不規則的方式移動，從而形成一個與平面不同的形态；要使這兩個平面相同，我們必須假設這條線是沿着兩條平行的直線在同一平面進行移動，這就産生了一個循環論證，用物體本身來解釋自身的存在，沒有盡頭。
這樣看來，幾何學上最基礎的認知，即相等與不相等，直線與平面，根據我們通常的理解方式，我們對這些的認知都談不上精确。
有時候我們存在疑問，但又說不出來，在什麼條件下那些具體的圖形是相等的，在什麼條件下一條線可稱為直線、一個面稱為平面，我們就是無法對這些圖形或其比例産生穩固不變的實質性認知。
我們還是隻能借助于那些個脆弱而易錯的判斷，這判斷是我們通過最初的觀察以及之後用兩腳規或其他常見的測量工具校正後得來的；如果我們再假設可以添加進一步的校正，那樣的話，這一校正不僅無用，還不現實。
如果我們求助于神，就像人們通常所做的那樣，假設是全能的神創造了一切完美的幾何形态，畫出的直線完全不存在一絲彎曲，這同樣徒勞無功。
我們知道