第四十七章數學
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三十歲以後，已有很高的數學造詣，并陸續發表了一些數學和天文學方面的重要研究成果。
1852年，李善蘭到上海墨海書館，與英國漢學家、傳教士偉烈亞力（A.Wylie，1815&mdash1887）等人合作，翻譯出版了《幾何原本》後9卷，以及《代數學》、《代微積拾級》、《談天》、《重學》、《植物學》等西方近代科學著作，其中《代微積拾級》是第一部譯成中文的解析幾何和微積分學著作，為近代科學在我國的引進與傳播作出了傑出的貢獻。
1860年後，他先後做過江蘇巡撫徐有壬以及曾國藩的幕僚，但主要是從事科學研究工作。
1868年開始擔任北京同文館算學總教習，直至1882年辭世。
李善蘭的學術專著是《則古昔齋算學》（1867年）13種24卷，包括《方圓闡幽》1卷，《弧矢啟秘》2卷，《對數探源》2卷，《垛積比類》4卷，《四元解》2卷，《麟德術解》3卷，《橢圓正術解》2卷，《橢圓新術》1卷，《橢圓拾遺》3卷，《火器真訣》1卷，《對數尖錐變法釋》1卷，《級數回求》1卷，《天算或問》1卷，其中記載了他在傳統數學領域的主要成就。
例如，“尖錐求積術”是李善蘭創造的一種獨特的數學方法。
在《方圓闡幽》中，李善蘭首先列出十條預備定理作為推算的基本依據，并且以求圓的面積為例，說明尖錐術的具體應用。
這些預備定理的基本思想是：當n&ge2時，Xn可以用一個平面圖形的面積或一條線段的長度來表示。
如其第八條命題說明，高為底面積為的尖錐體體積等于，這相當于定積分hahahnn+1n+1axdxahnnnoh=++ò11．他利用尖錐術得到了圓面積展開式，三角函數和反三角函數展開式以及自然對數展開式等許多很有意義的結果①。
李善蘭在《垛積比類》中，深入和全面地研究了三角垛、乘方垛、三角自乘垛、三角變垛等求和問題，發現了多種類型的代數恒等式，其中尤其著名的是三角自乘垛求和公式：（）（）（），rpppjnpjprnjp+-=+-+==..12212120式中。
這一公式現在通稱“李善蘭恒等式”，章用、華()!!()mmm111=-羅庚、圖蘭·帕爾（匈牙利）等現代數學家都對它進行了新的探讨。
李善蘭對于數論問題也曾作了不少研究。
他在《考數根法》中，獨立證明了費馬定理，即如果ap-1能被N整除，且N為素數，那末N-1必能被P整除。
但N-1能被P整除，僅是N為素數的必要條件而不是充分條件。
他指出了這個定理的逆定理不成立，并給出另外幾個有關素數的判定方法。
①李善蘭：《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》，均見《則古昔齋算學》。
第八節 其他方面的成就 在中國古代傳統數學中，關于有限項級數的求和問題，是一個相當有成績的領域。
如宋元時代的垛積招差術，提出了許多種高階等差級數的求和公式。
在清代，又有不少人繼續從事這方面的工作。
如康熙時的數學家陳世仁（1676&mdash1722）撰《少廣拾遺》，專門讨論垛積術，得到：1+3+5++(2n1)=13n(4n1)1+3+5++(2n1)=n(2n1)22222333322.，.，----等一系列新成果。
中國古代很早就發明了先進的十進位值制記數法。
但在長期的曆史發展過程中，也曾涉及到其他的進位制。
例如《易經》的六十四卦，體現了二進制的思想，西漢揚雄《太玄經》的八十一首，體現了三進制的思想。
明代朱載堉在進行律管長度換算時實際上應用了九進制。
清代數學家汪萊所著《叁兩算經》，則是中國數學史上第一次系統探讨非十進制算術的論文。
文中論述了二至九進制的理論和算法，列出了二至九進制的乘法表，并讨論了非十進制除法運算有否整數和有限小數商的情形。
這是清代數學中一項值得稱道的成就。
項名達在《開諸乘方捷術》中，創用逐次逼近法開高次方。
他與戴煦所得到的四個遞推公式，為高次方程的近似計算問題提供了有效的新方法。
他在《象數一原》中提出的待定系數法，也是無窮級數研究中的一種重要方法。
在畫法幾何方面，我國古代很早就掌握了用富有立體感的平面圖形來表現空間物體的繪圖技巧。
許多建築圖樣、繪畫和雕刻作品運用了正投影、透視、軸測圖等如今屬于畫法幾何的方法。
元代天文學家郭守敬《授時曆草》和明代的《營造正式》等都畫出了相當準确的二視圖。
清代康熙時的數學家年希堯（？&mdash1739），對于引進的西方透視畫法鑽研了三十餘年，撰寫出我國第一部透視學專著《視學》（1729年），把我國的制圖理論和方法提高到一個新的水平。
《視學》所附圖版極其精美，繪制的建築圖樣比例準确，層次分明，立體感強，這在中國傳統科學著作中是很罕見的。
《視學》中論述的透視學原理主要有量點法、雙量點法、截距法、仰望透視法、陰影作法等，其中有些内容早于西方畫法幾何的奠基人法國數學家蒙日。
三十歲以後，已有很高的數學造詣，并陸續發表了一些數學和天文學方面的重要研究成果。
1852年，李善蘭到上海墨海書館，與英國漢學家、傳教士偉烈亞力（A.Wylie，1815&mdash1887）等人合作，翻譯出版了《幾何原本》後9卷，以及《代數學》、《代微積拾級》、《談天》、《重學》、《植物學》等西方近代科學著作，其中《代微積拾級》是第一部譯成中文的解析幾何和微積分學著作，為近代科學在我國的引進與傳播作出了傑出的貢獻。
1860年後，他先後做過江蘇巡撫徐有壬以及曾國藩的幕僚，但主要是從事科學研究工作。
1868年開始擔任北京同文館算學總教習，直至1882年辭世。
李善蘭的學術專著是《則古昔齋算學》（1867年）13種24卷，包括《方圓闡幽》1卷，《弧矢啟秘》2卷，《對數探源》2卷，《垛積比類》4卷，《四元解》2卷，《麟德術解》3卷，《橢圓正術解》2卷，《橢圓新術》1卷，《橢圓拾遺》3卷，《火器真訣》1卷，《對數尖錐變法釋》1卷，《級數回求》1卷，《天算或問》1卷，其中記載了他在傳統數學領域的主要成就。
例如，“尖錐求積術”是李善蘭創造的一種獨特的數學方法。
在《方圓闡幽》中，李善蘭首先列出十條預備定理作為推算的基本依據，并且以求圓的面積為例，說明尖錐術的具體應用。
這些預備定理的基本思想是：當n&ge2時，Xn可以用一個平面圖形的面積或一條線段的長度來表示。
如其第八條命題說明，高為底面積為的尖錐體體積等于，這相當于定積分hahahnn+1n+1axdxahnnnoh=++ò11．他利用尖錐術得到了圓面積展開式，三角函數和反三角函數展開式以及自然對數展開式等許多很有意義的結果①。
李善蘭在《垛積比類》中，深入和全面地研究了三角垛、乘方垛、三角自乘垛、三角變垛等求和問題，發現了多種類型的代數恒等式，其中尤其著名的是三角自乘垛求和公式：（）（）（），rpppjnpjprnjp+-=+-+==..12212120式中。
這一公式現在通稱“李善蘭恒等式”，章用、華()!!()mmm111=-羅庚、圖蘭·帕爾（匈牙利）等現代數學家都對它進行了新的探讨。
李善蘭對于數論問題也曾作了不少研究。
他在《考數根法》中，獨立證明了費馬定理，即如果ap-1能被N整除，且N為素數，那末N-1必能被P整除。
但N-1能被P整除，僅是N為素數的必要條件而不是充分條件。
他指出了這個定理的逆定理不成立，并給出另外幾個有關素數的判定方法。
①李善蘭：《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》，均見《則古昔齋算學》。
第八節 其他方面的成就 在中國古代傳統數學中，關于有限項級數的求和問題，是一個相當有成績的領域。
如宋元時代的垛積招差術，提出了許多種高階等差級數的求和公式。
在清代，又有不少人繼續從事這方面的工作。
如康熙時的數學家陳世仁（1676&mdash1722）撰《少廣拾遺》，專門讨論垛積術，得到：1+3+5++(2n1)=13n(4n1)1+3+5++(2n1)=n(2n1)22222333322.，.，----等一系列新成果。
中國古代很早就發明了先進的十進位值制記數法。
但在長期的曆史發展過程中，也曾涉及到其他的進位制。
例如《易經》的六十四卦，體現了二進制的思想，西漢揚雄《太玄經》的八十一首，體現了三進制的思想。
明代朱載堉在進行律管長度換算時實際上應用了九進制。
清代數學家汪萊所著《叁兩算經》，則是中國數學史上第一次系統探讨非十進制算術的論文。
文中論述了二至九進制的理論和算法，列出了二至九進制的乘法表，并讨論了非十進制除法運算有否整數和有限小數商的情形。
這是清代數學中一項值得稱道的成就。
項名達在《開諸乘方捷術》中，創用逐次逼近法開高次方。
他與戴煦所得到的四個遞推公式，為高次方程的近似計算問題提供了有效的新方法。
他在《象數一原》中提出的待定系數法，也是無窮級數研究中的一種重要方法。
在畫法幾何方面，我國古代很早就掌握了用富有立體感的平面圖形來表現空間物體的繪圖技巧。
許多建築圖樣、繪畫和雕刻作品運用了正投影、透視、軸測圖等如今屬于畫法幾何的方法。
元代天文學家郭守敬《授時曆草》和明代的《營造正式》等都畫出了相當準确的二視圖。
清代康熙時的數學家年希堯（？&mdash1739），對于引進的西方透視畫法鑽研了三十餘年，撰寫出我國第一部透視學專著《視學》（1729年），把我國的制圖理論和方法提高到一個新的水平。
《視學》所附圖版極其精美，繪制的建築圖樣比例準确，層次分明，立體感強，這在中國傳統科學著作中是很罕見的。
《視學》中論述的透視學原理主要有量點法、雙量點法、截距法、仰望透視法、陰影作法等，其中有些内容早于西方畫法幾何的奠基人法國數學家蒙日。