圜容較義

明　李之藻　撰 萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者四邊五邊乃至千萬億邊不可數盡也三邊形等度者其容積固大于三邊形不等度者四邊以上亦然而四邊形容積恒大于三邊形多邊形容積恒大于少邊形恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫厘不可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜也圜故無不容無不容所以為天試論其槩 凡兩形外周等則多邊形容積恒大于少邊形容積假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分于丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線【幾何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者【一卷四又三十六】既甲 丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等【一卷三十四】則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊為?其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則赢一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊形容積必大于三邊形 凡同周四直角形其等邊者所容大于不等邊者假有直角形等邊者每邊六共二十四其中積三十六另有直角形不等邊者兩邊數十兩邊數二其周亦二十四與前形等周而其邊不等故中積隻二十又設直角形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同周而中積二十七又設一形兩邊各八兩邊各四亦與前同周而中積三十二或設以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而中積三十五是知邊度漸相等則容積固漸多也 試作直角長方形令中積三十六 同前形之積然周得三十與前周 二十四者逈異令以此周作四邊等形則中積必大于前形 凡同周四角形其等邊等角者所容大于不等邊等角者設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】與不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁 及甲丙線則赢于己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大于不等角形 以上四則見方形大于長形而多邊形更大于少邊形則圜形更大于多邊形此其大略若詳論之則另立五界說及諸形十八論于左 第一界等周形　謂兩形之周大小等 第二界有法形　謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相 等角角相等即為有法其欹邪不就 規矩者為無法形 第三界求各形心　但從心作圜或形内切圜或形外切 圜皆相等者即系圜與形同心 第四界求形面謂周線内所容人目所見乃形之一 面 第五界求形體如立方立圜三乘四乘諸形乃形之 全體 第一題 凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線及高線作矩内直角方形必與三角形所容等 解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等 先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四十一】故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等【一卷三十六】 次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大 于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故【一卷三十六】 第二題 凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直角長方形亦與有法形所容等 解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直 角線為庚辛另作壬癸線與庚辛 等作癸子與甲乙丙丁線等即半 周線也題言壬癸子醜直角形與 甲乙丙丁戊己形之所容等 論曰自庚到各角皆作直線皆分 作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚 三角形與甲辛辛庚二線所作矩 内直角形等【以甲辛分甲乙之半故本篇一題】若 以甲乙丙丁半形之周線為癸子 線以與壬癸線共作矩内直角形 即與有法全形等葢此半邊三個 三角形照甲乙庚形作分中垂線 其矩線内直角形俱倍本三角形 故 第三題 凡有法直線形與直角三邉形并設直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等 解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等