卷九十三

欽定四庫全書 新法算書卷九十三　　明　徐光啟等　撰測量全義卷七　　球面曲線形 圏内線相當之理 每弧毎角有八種線曰正?曰正切線曰正割線曰正矢曰餘?曰餘切線曰餘割線曰餘矢幷全數為九種諸線内各有相當之理皆依三邊形等角比例法【防何六卷四題】 如上圖丙丁為正弧甲丁為正? 丙辛為正切線乙辛為正割線甲 丙為正矢戊丁為餘?己壬為餘 切線乙壬為餘割線戊己為餘矢乙己乙丁乙丙皆全數也即辛丙乙壬己乙兩形相似何者己丙兩直角己乙辛丙為平行線辛乙直線割兩平行即其相對兩内角必等既丙辛乙壬乙己兩角等即其對邊相似 一全數為正?餘割線兩率之中率 如丙丁弧之正?為甲丁全數為 丁乙餘割線為乙壬則甲丁與丁 乙若乙己與乙壬矣丁乙乙己皆 全數必等則甲丁與丁乙若丁乙與乙壬也 又全數為餘?正割線之中率如戊丁與丁乙若丁乙【與乙丙等故】與乙辛 一系凡四率全數為中率【或二或三】若第一率 為正?即棄正?而變餘割線為中率全 數為第一省而一　若第一率為餘?則 變正割線為中率　若第一率為正割線則變餘?若第一率為餘割線則變正?　凡所變者皆以易全數而使為第一率 論曰凡有連比例之三率一率與二【如二與六】若二率與三【如六與十八】别有二數其比例若連理之一率與二【如八與二十四】即可代用或連理之一率與二【如二與六】若他數與别數【八與二十四】可也或連理之二率與三【六與十八】若他數與别數【八與二十四】亦可也為其比例等故也【皆三之一】今連理之一率為甲【正?】二率為乙【全數】三率為丙【餘割線】次有斷理之第三率丁第四率戊即可代用謂一甲【正?】與二乙【全數】若三丁與四戊可也謂二乙【全數】與三丙【餘割線】若三丁與四戊亦可也是于連理之三率二比中棄前比而用後比初以全數為第二餘割為三今以全數為一餘割為二也如三十八度一十七分之正?六一九五五與全數若三十度之正?與某數常法二三率相乘以一率為法而一得第四今法用三十八度一十七分之餘割線一六一四○七為二率以易全數而為第一以二三率相乘即得第四何者正?全數餘割線為連比例故也二系凡四率中無全數若第一率為正?則變餘割線為第一率若第一率為餘?則變正割線為第一率法用一二率相乘得數以全為法去後五位所存若幹位與全數等而一又以乘第三率得數如前而一得四率【名為而一者再皆以全數為法止減末位不難也常法一乘一除此用兩乗猶是防法】 假如一十八度四十○分之正?三二○○六與二十五度三十七分之正?四三二三一若六十三度三十二分之切線二○○八六二與某數其常法二三率相乘第一率而一今用防法取一十八度四十分之餘割線三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○為實以全數為法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全為法而一得一六七九二二為四率 二三○七三五　六十四度十九分之正割線 又假設三率如一二二三四一 二三四三二 第一率變取六十四度十九分之餘?四三三四○以乗第二率得數減後五位以所存乘第三率得數又減 後五位所存即第四率 二全數為正餘兩切線之中率 如上圗辛丙與丙乙若乙己與己壬 何者丙乙乙己皆全數則辛丙丙乙【或乙己】己壬為三率連比例 系凡四率斷比例全數為中率若第一為正切線變餘切線為中率以易全為第一若第一為餘切線變正切線為中率以易全為第一 三正?與餘?若全數與餘切線餘?與正?若全數與正切線 如前圗甲丁與丁戊【即甲乙故】若乙己與己壬戊丁【即甲乙故】與甲丁若乙丙與丙辛 系四率斷比例若一二率為正?與餘?變為全數與餘切線若為餘?與正?變為全數與正切線 四凡兩弧之正割線與其餘?為互相視之線兩弧之餘割線與其正?為互相視之線 如上圗丙癸丙丁兩弧丙癸弧之正 割線為乙寅丙丁弧之正割線為乙 辛丙癸弧之餘?為庚癸丙丁弧之 餘?為戊丁則乙寅與乙辛若戊丁 與癸庚 論曰全數在正弧【丙癸】為其正割線【乙寅】及其餘?【癸庚】之中率在他弧【丙丁】亦為其正割線【乙辛】及其餘?【丁戊】之中率兩理之各前後矩内形各與全數上方形等【各為其中率故】即兩矩内形自相等其邊互相視【防何六卷十四】 五凡兩弧之正切線與其餘切線為互相視之線同上論卷中諸圏皆以曲線當圎球之大圏相交相截人目視球曲面或近或逺或上或下或左或右所見不同有時視曲線而為直線即同是曲線而形象不一葢平面圖球不能盡球之理宜從論説中領其意義乃得耳 圓球原本内借論題　　古徳阿多西阿撰 一大圏皆與球同心　系大圏皆相等若從大圏分球過心必為兩平分【一卷六】 二兩大圏于球上相交各為兩平分 三反之兩圏于球上相分為兩平分必兩皆大圏【一卷十一十二如赤道黃道等】 四大圏過他圏之兩極必相交為直角【一卷十五題如子午圏過赤道極則兩圏交處皆為直角】 五大圏與本極距一象限九十度 六大圏交兩大圏若作直角則元圏之極在兩圏之交如赤道與極至交圏極分交圏為直角則兩圏之交在赤道極 七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去離大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分 八兩大圏相交其交角必等或上或下兩角幷必等兩直角與直線相交同理 九球上大圏不能相偕為平行弧一心止一圏故也若同心而能為多圏則是距等小圏非大圏矣 分球上三角形之各類 球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形為大測之本【若有小圏之一弧即未能定圏大小之數安能定其弧數明大測不用小圏之弧也】 球上角形或三邊等其角必等邊之度若四之一【九十度】則角為直角過四之一則鈍角不及則鋭角【如正球之赤道地平子午圏皆相交為直角則各邊俱九十度】 或二邊等其對角亦等若邊過象限為鈍角不及為鋭角或各邊不等各角亦不等 球上角形或三直角其邊皆四之一或兩為直角其兩對邊皆四之一此二類自明勿論所論者一為直角餘或鈍或鋭各有本法如左 一圗外大圏内兩大圏分皆相交為直角則各圏之極在他兩圏之交【用号作十者指直角作○者指鈍角作丨者指鋭角邊雲多者謂過四之一雲少者謂不及四之一】 二圗兩直角形第三角或鋭或鈍【己上二圗俱不論】 三圗甲乙丙形甲為直角餘皆鋭其邊少甲丙戊形甲直角丙鈍戊鋭鈍角之對邊大即甲已戊弧鋭角之對邊小即甲丙弧或一直角兩鈍角如乙丙丁形乙丙兩鈍角其對邊過四之一即乙壬丁弧 凡兩角或鋭或鈍若同?其間所容弧不及四之一直線三角形與球上曲線三角形異理 一直線形之三角幷與兩直角等曲線形之三角幷其數不定但不能及四直角【四直角者三百六十度也】 二直線形得兩角即得其三曲線形否 三直線直角形有兩邊以句股開方法求其三曲線形否四直線形有三角不能求三邊若幹但得其比例耳曲形設三角可推三邊若幹 五直線形各邊能當全數曲線之各邊否 六兩直線形等角即兩形之邊有比例曲線等角形之邊必等 七直線形但有一易法以垂線分元形是也曲形有六易法 八直線形不過二種一直角二或鈍或鋭角其邊雖有長短不變其?曲形邊有大小其法不同 球上斜三角形因各角各邊不等分為九種【或恒用或否俱見下文】第一三角皆鋭其邊皆小于四之一【如第一圖甲形】 第二三角皆鈍其一邊适足四之一其二邊大于四之一【後凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四之一者皆言多如第二圗乙形】 第三三角皆鈍其兩邊多一邊少【如三圖丙形