卷十

欽定四庫全書 新法算書卷十　　　　　明　徐光啟等　撰大測卷二 表法篇第四 既得前六宗率更用三要法作表 要法一　前後兩?其能等于半徑【圖説系法俱見本篇總論第十二條】要法二　有各弧之前後兩?求倍本弧之正?如上甲戊弧三十五度其正?為戊己得五七三五七六四其餘?即乙己得八一九一五二○今以此二?求倍甲戊而為甲丁弧之正?其法以乙戊半徑千萬為第一率以戊己正?為第二率以乙壬餘?為第三率即得壬庚第 四率與辛癸等為四六九八四六二倍之得丁癸為九三九六九二四其弧甲丁七十度 論曰乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等則乙己與乙壬等而戊己與甲壬亦等乙己與乙壬等故乙壬為餘?也而乙壬庚乙戊己兩形之比例等故第四率為壬庚壬庚與辛癸同為直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同為直角則甲戊戊丁兩弧等甲壬壬丁兩?亦等而丁辛與壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲兩形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之為甲癸以減半徑得癸乙為餘? 要法三各弧之全?上方與其正半?上偕其矢上兩方幷等 句股術也 如上甲丁弧之正?為丁辛其矢為甲辛此兩線上方幷與甲丁上方等 系法有一弧之正?及其餘?而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正?為丁辛餘?為乙辛而求甲戊弧之甲己半?其法于甲乙半徑減乙辛餘?得甲辛矢其上方偕丁辛半?上方并與甲丁通?上方等開方得甲丁線半之 得甲己為甲戊弧之正?其數如上甲丁弧三十度其半?丁辛為五○○○○○○乙辛餘?為八六六○二五四以減全半徑得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方為二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方為一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四四五一六開方得甲丁線五一七六三六○即甲丁弧三十度之?也半之為甲己半?得二五八八一九○其弧十五度 用前三要法即大測表大畧可作又有簡法二題其用甚便但非恒有 簡法一　兩正?之較與六十度左右距等弧之正?等【見本卷第二篇】 解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩弧等其前兩正?一為己辛一為丁庚其 較丁癸題言丁癸較與己壬壬丁兩正?各等論曰試作一己子線則丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己 兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十度而乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁既平行甲戊線截二線于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與全己全子三角既等兩直角【一之三十二】則共為一百八十度于中減全子角六十度則丁己兩全角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等 系題兩弧各有其正半?兩半?至弧之防在六十度之左右而距度防等則前兩正半?之較即後兩半?如圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半?己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半?為丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半?其法以己辛丁庚兩半?相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半?【此數半徑設一萬】 次系有六十度左右相離弧之正?一率又有其原正?一率而求其相對之彼正?其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正?與相離弧之正?相減其較為小弧之正?【餘則稱餘倒則稱倒】以小求大者用相離弧之半?加小弧之半?即大弧之半?如上丁壬離弧之正?即己壬與丁癸較等為一千七百三十六丁庚大?為九千三百九十六相減得癸庚七千六六○即 己丙弧之己辛小?反之丁癸較為一千七百三十六【即丁壬離?】以加于癸庚【即辛己小?】七千六百六十得丁庚大?九千三百九十六 用此法于象限内先得半?六十率用加減法即得其餘三十率 簡法二　有兩弧不等之各正?又有其各餘?而求兩弧相加相減弧之各正?其法有二一相加一相減相加者以前弧之正?乘後弧之餘弦以後弧之正?乘前弧之餘?各得數并之為實以半徑為法而一得兩弧相加為總弧之正?相減者亦如前法互乘得各 數相減餘為實以半徑為法而一為 兩弧相減弧之正? 如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十 五度總三十五度其差五度甲