上編卷三

<子部,天文算法類,推步之屬,禦制曆象考成 欽定四庫全書 禦制歴象考成上編卷三 弧三角形下 斜弧三角形論 斜弧三角形邊角比例法 斜弧三角形作垂弧法 斜弧三角形用總較法【次形法附】 斜弧三角形設例八則 斜弧三角形論 弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過于九十度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑複繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所用之法彼此互異遂使學者莫知所從茲約以三法求之無論角之銳鈍邊之大小并視先所知之三件為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角【或求角而無對角之邊或求邊而無對邊之角】則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角【或三邊求角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間】則用總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣 斜弧三角形邊角比例法 凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角者則用邊角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙為對所知之邊甲為所知之角甲乙為對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正?與對所求之甲乙邊正?之比同于所知之甲角正?與所求之丙角正?之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己角為對所知之角丁戊為所知之邊丁為對所求之角乃以對所知之己角正?與對所求之丁角正?之比同于所知之丁戊邊正?與所求之戊己邊正?之比也 斜弧三角形作垂弧法 凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角者則用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃自乙角作乙丁垂弧于形内分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角以丁角正?【即半徑】與甲角正?之比同于甲乙邊正?與乙丁垂弧正?之比而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘?之比同于甲乙邊正切與甲丁邊正切之比而得甲丁分邊以甲乙邊正?與甲丁邊正?之比同于丁角正?【即半徑】與乙分角正?之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同于半徑與乙分角餘?之比而得乙分角以丁角正?【即半徑】與乙分角正?之比同于乙丙邊正?與丁丙邊正?之比而得丁丙分邊既得兩分角并之即乙角得兩分邊并之即甲丙邊也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引長至辛作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虛邊及己虛角葢此形有庚外角有己庚邊有辛直角以辛角正?【即半徑】與庚角正?之比同于己庚邊正?與己辛垂弧正?之比而得己辛垂弧以半徑與庚角餘?之比同于己庚邊正切與庚辛虛邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚邊正?與庚辛邊正?之比同于辛角正?【即半徑】與己虛角正?之比而得己虛角次用戊己辛形求戊辛總邊及己總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切與半徑之比同于己辛垂弧正切與戊辛邊??之比而得戊辛總邊以己辛垂弧正?與戊辛邊正?之比同于戊角正?與己角??之比而得己總角既得戊辛總邊内減去庚辛虛邊即戊庚邊得己總角内減去己虛角即己角也 斜弧三角形用總較法 凡斜弧三角形知三邊求 角者則用總較法以角傍 之兩邊相加為總弧相減 為較弧各取其餘?相加 減【總弧較弧俱不過象限或俱過象限則兩餘? 相減若一過象限一不過象限則兩餘?相加其或 過二象限者與過一象限同過三象限者與不過象 限同】折半為中數又以對邊 之矢與較弧之矢相減餘 為矢較乃以中數與矢較 為比同于半徑與所求角 之正矢之比也如知兩邊 一角而角在兩邊之間者 以半徑與所知角之正矢 為比同于中數與矢較之 比既得矢較與較弧之矢 相加即得對邊之矢也如 甲乙丙斜弧三角形有三 邊求甲角則以甲角傍之 甲乙甲丙二邊相加得乙 丁【甲丙甲戊甲丁三弧同為丁戊距等圈所截故 其度相等】為總弧其正?為丁 己餘?為己庚甲乙與甲 丙相減餘乙戊為較弧其 正?為戊辛餘?為辛庚 兩餘?相加得己辛【乙丁總弧 過象限乙戊較弧不過象限其兩餘?在圜心之兩 邊故相加】折半得辛壬與癸子 等為中數乙丙對邊與乙 醜等【乙丙與乙醜兩弧同為醜寅距等圈所截 故其度相等】其正?為醜卯餘 ?為卯庚正矢為乙卯以 乙卯與乙戊較弧之正矢 乙辛相減餘辛卯與辰巳 等為矢較戊辰巳與戊癸 子為同式兩勾股形故癸 子與辰巳之比同于戊子 與戊巳之比也又午庚為 半徑戊子為距等圈之半 徑午未與戊己兩段同為 甲丙申大圈所分則戊子 與戊己之比原同于午庚 與午未之比是以中數癸 子與矢較辰巳之比即同 于半徑午庚與甲角正矢 午未之比也以午未與午 庚半徑相減餘未庚為甲 角之餘?檢表即得甲角 所當午申弧之度也若先 有甲角及甲乙甲丙二邊 求乙丙對邊則以半徑午 庚與甲角正矢午未之比 即同于中數癸子與矢較 辰巳之比既得辰巳與辛 卯等與乙戊較弧之正矢 乙辛相加得乙卯為乙丙 對邊之正矢也如有甲乙 甲丙乙丙三邊求乙角則 以乙角傍甲乙乙丙二邊 相加得甲丁【乙丙乙丁乙戊三弧同為 戊丁距等圈所截故其度相等】為總弧其 正?為丁己餘?為己庚 甲乙與乙丙相減餘甲戊 為較弧其正?為戊辛餘 ?為辛庚兩餘?相減餘 辛己【甲丁總弧甲戊較弧皆不過象限其兩餘 ?同在圜心之一邊故相減】折半得辛 壬與癸子等為中數甲丙 對邊與甲醜等【甲丙與甲醜兩弧同 為寅醜距等圈所截故其度相等】其正? 為醜卯餘?為卯庚正矢 為甲卯以甲卯與甲戊較 弧之正矢甲辛相減餘辛 卯與辰巳等為矢較戊癸 子與戊辰巳為同式兩勾 股形故癸子與辰巳之比 同于戊子與戊巳之比也 又午庚為半徑戊子為距 等圈之半徑戊巳與午未 兩段同為乙丙申大圈所 分則戊子與戊巳之比原 同于午庚與午未之比是 以中數癸子與矢較辰巳 之比即同于半徑午庚與 乙角大矢午未之比也【凡鈍 角所用諸線皆與外角同惟矢則有正矢大矢之别 如庚未為乙銳角所當申酉弧之餘?亦為乙鈍角 所當午申弧之餘?檢表銳角即得本角度鈍角與 半周相減亦即得本角度而未酉為乙銳角之正矢 乃于酉庚半徑内減庚未餘?午未為乙鈍角之大 矢乃于午庚半徑加庚未餘?也此正矢大矢之别 過弧亦然】于午未大矢内減午 庚半徑餘庚未為乙角之 餘?檢表得乙外角度與 半周相減餘即乙鈍角之 度也若先有乙鈍角及甲 乙乙丙二邊求甲丙對邊 則以半徑午庚與乙角大 矢午未之比即同于中數 癸子與矢較辰巳之比既 得辰巳與辛卯等與甲戊 較弧之正矢甲辛相加得 甲卯為甲丙對邊之正矢 也 斜弧三角形知三角求邊 者則用次形法如甲乙丙 形可易為丁戊己次形葢 甲角之度當庚辛弧而庚 辛與己戊等【庚己與辛戊皆象限故庚 辛與己戊等】故本形之甲角即 次形之己戊邊乙外角之 度當壬癸弧而壬癸與己 丁等【壬己與癸丁皆象限故壬癸與己丁等】故本形之乙外角即次形 之己丁邊丙角之度