卷八 學術八 文學四附算學

圜率考真圖解跋 曾紀鴻 曩讀古今人數學書莫不言割圜之難數理精蘊中所載圜率與西人固靈所求三十六位之數相同皆用内容外切屢次開方之法欲求此三十六位之率不下數十年工夫亦綦難矣後有泰西杜德美特立屢乘屢除之法省去開方較舊法為稍捷然秀水朱君小梁用其術以求四十位圜率止有二十五位不誤其後十五位概行誤足見紛赜繁難易于淆亂果臣先生屬紀鴻等凝心構思幸得創茲巧法斂級甚速按等推求了如指掌迩日深于算者窮理之功多演數之功少反覺不切于日用今左君壬叟黃君玉屏竟用此術推得各弧背真數至百位之多庶幾息諸家之聚訟而為古之困于圜率者置一左券也 對數序 劉彜程 人莫不知對數之用世亦不乏求對數之書奚俟後有論譔顧是書之不容已于作也其要有二一則自來求對數者求一對數祗可得一對數今思得一法求一對數俱可得兩對數蓋以前冊開方第二術求大于本數之對數較易正負相間之諸數為皆正即為小于本數之對數較以前冊開方第三術求小于本數之對數較易諸數皆正者為正負相間即為大于本數之對數較以此求諸對數以備立表視前人諸法不尤捷乎此首卷之所以要也一則近來西書求對數半較其法頗捷而立法之原不詳間以開方之理推之乃知亦系開方之法但此開方與前冊開方諸法不同蓋以中方根求大小兩方根半較法也爰自平方至無量數九乘方各以率數闡之莫不顯然一貫而開方之說可以據為定論無疑此次卷之所以要也至是書中逐事逐節闡微抉隐于對數之理均覺似非小補然以視最要之端則猶為餘事矣 論對數根 劉彜程 第一問 問何謂對數根曰命單一下帶無數空位零一之數為方根求其無量數九乘方之積為真數次置方根零數即零一之一以一無量數乘之得單一為真數之自然對數由自然對數求得定準對數即對數根也法以十之自然對數為首率十之定準對數單一為中率求得末率為對數根蓋十之自然對數與十之定準對數單一之比若以單一為自然對數與其定準對數之比而此所得定準對數用之乘一切方根零數可得一切數之定準對數以其為諸對數之所自出故曰對數根也 第二問 問以對數根乘一切數之方根零數而得一切數之定準對數其理若何且求一切定準對數舍對數根尚别有法乎曰一切數之方根零數既為一切數之自然對數則置本數之方根零數任以若幹數之定準對數乘之以若幹數之自然對數除之必得本數之定準對數顧此法須一乘一除不若有乘無除或有除無乘之便有乘無除者以對數根為乘法是也有除無乘者以十之自然對數為除法是也蓋自然對數單一與定準對數對數根之比同于一切自然對數與一切定準對數之比而所宜置之一率系單一可以省除宜以單一為一率對數根為二率一切自然對數為三率求得四率為一切定準對數故以對數根乘一切方根零數即得一切定準對數又十之自然對數與十之定準對數之比同于一切數之自然對數與一切定準對數之比而十之定準對數系單一可以省乘故以十之自然對數除一切方根零數即得一切定準對數夫位少之數乘便于除位多之數除便于乘似以十之自然對數為除法較以對數根為乘法為便十之自然對數與對數根皆位多之數顧乘除方根零數乃乘除于得數之後得數即得方根也乘除所借之根單一為乘根于第一數之先第一數即連比例之第一數乘除于後與乘除于先原無少異則與其以十之自然對數除方根零數孰若以對數根乘借根單一之為便乎此求對數者所以恒置對數根為第一數之實也置對數根為第一數之實即如以對數根乘單一也 第三問 問求對數根共有幾法曰舊法以十為本積開五十四次平方然後以方根為真數以方根之零數為自然對數以單一折半五十四次為定準對數置單一以定準對數乘之自然對數除之得對數根此一法也戴氏以十為本積先開三十一乘方為用數然後以用數開無量數九乘方求得方根零數以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然對數以十之自然對數除定準對數單一得對數根此又一法也李紉叔氏以二為本數求得自然對數三因之得八之自然對數又求得四與五之自然對數較命為八與十之自然對數較四五與八十比例同故對數較亦同以加八之自然對數為十之自然對數然後以十之自然對數除單一得對數根此又一法也夫舊法極繁不可為訓戴李二術因十之自然對數不可徑求故一則借用數以求之一則分二次以求之皆法之極善者也 第四問 又問求對數根别有法乎曰無論以若幹數之自然對數除本數之定準對數皆得對數根以對數根乘諸自然對數既得諸定準對數則以諸自然對數除諸定準對數必得對數根但諸數之自然對數與定準對數恒難兼而有之如二可得自然對數不能得定準對數十之平方根可得定準對數不能得自然對數試思何數可兼得自然與定準兩對數則得對數根矣間嘗于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法與戴法相似後一法與李法相似此法任取略大于單一之數皆可為求對數根之借端明乎此然後覺求之術途徑甚寬非一格所能限矣法如左 一任取略大于單一之數為借根屢自再乘至比十略大或略小而止為借積以十為本積視借根屢自再乘為若幹次即以十開若幹乘方得數為十之若幹乘方根次以此方根為本數以若幹乘方之廉率除十之定準對數單一為本數之定準對數複由本數求得自然對數然後以自然對數除定準對數得對數根 假如任取一一為借根自乘得一二一為平方以平方自乘得一四六四一為三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一為七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三為十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五為二十三乘方此法較以一一累乘二十三次略捷視二十三乘方之數與十相近而略小乃以此數為借積十為本積求十之二十三乘方根法以借積減本積得一五二六七三二五為屢次乘法十為屢次除法置借根一一為第一數乘法乘第一數除法除之得一六五二九四五八以廉率二十四除之得六八八七二五三為第二數除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四為第三數乘法乘第三數除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一為第四數乘法乘第四數除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六為第五數諸數相得一一六九四一七一四為十之二十三乘方根以上用開方第一術 次以十之二十三乘方根為本數以廉率二十四除十之定準對數得四一六六六六六六七為本數之定準對數仍以開方術求本數之自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得一六九四一七一四為較積即為屢次乘法置借根單一借積一借根必仍為一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一無量數除之今不除寄為母即為第一數正本系第二數因但求方根零數故徑以第二數為第一數乘法乘第一數除法為單一除與不除無異故可省去得一一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除與一無量數乘二無量數除等得五六九六五八一為第二數負乘法乘第二數得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三為第三數正乘法乘第三數得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四為第四數負如是求得二七四為第五數正一七三八為第六數負一五為第七數正一三為第八數負一為第九數正諸正數相諸負數以減之得九五九四一四五六合以一無量數乘之因第一數已寄一無量數為母是此數已為一無量數與方根零數相乘之數故即為借積與本數之對數較又此對數較合加借積之對數為本數之對數而借積系單一無對數可加諸數之中惟單一無對數故此對數較即為本數之自然對數置本數之定準對數四一六六六六六六七以自然對數九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第二術 一任取略大于單一之數為本數求得自然對數次以本數屢自再乘至比十略小或略大而止複求得此數與十之自然對數較次置先所求自然對數以屢自再乘之次數加一乘之以後所求自然對數較加之得十之自然對數然後以十之自然對數除十之定準對數單一得對數根 假如任取一一為本數求其自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得一為較積即為屢次乘法置借根單一降一位屢乘法除法皆為一乘除所得之數但降一位而數不變故以降一位代乘除一次也得一為第一數正此處寄母及得數後不複以無量數乘之之說俱已見前置第一數降一位一乘之二除之得五為第二數負置第二數降一位二乘之三乘之得三三三三三三為第三數正置第三數降一位三乘之四除之得二五為第四數負如是求得二為第五數正一六七為第六數負一四為第七數正一為第八數負諸正數相諸負數以減之得九五三一一八為一一之自然對以上用開方第二術 次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五為一一之二十三乘方視此數與十相近而略小乃以此數為小積十為大積複開無量數九乘方求大小兩積之對數較法置大積自除得一為大借積以大積除小積得九八四九七三二六七五為小借積以減大借積得一五二六七三二五為較積乃以較積除小借積得六□五五四八六七第二位為單數故志以口為屢次除法合以較積為乘法小借積為除法今以乘法除除法為除法則屢次乘法可以省去置大借積之根單一以除法除之得一五二五五九八為第一數正除法除第一數一乘之二除之得一一六三七五為第二數負除法除第二數二乘之三除之得一一八四為第三數正除法除第三數三乘之四除之得一四為第四數負第一第三數相以第二第四數相減之得一五一四七八為大借積與小借積之自然對數較亦即為大積與小積之自然對數較大小兩借積皆寄大積除法為母同一寄母則與原大積小積比例仍同比例同故對數較亦同次置一一之自然對數以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次數加一乘之也得二二八七四四四三二為小積之自然對數以大小兩積之自然對數較加之得二三二五八五二為十之自然對數置定準對數單一以十之自然對數除之得四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第四術 代數術序 華蘅芳 代數術二十五卷餘與西士傅蘭雅所譯也傅君本精于此學餘亦粗明算法故傅君口述之餘筆記之一日數千言不厭其艱苦凡兩月而脫稿繕寫付梓經年告成爰展閱一過而序之曰數之名始于一而終于九故至十則進其位而仍以自一至九之數名之至百則又進其位而仍以自一至九之數名之如是以至千萬億兆其例一也夫古人造數之時所以必以十紀之者誠以數之多可至無窮若每數各與一名則吾之名必有窮時且紛而無序将不可記憶不如極之于九而以十進其位則舉手而示屈指而記雖愚魯者皆能之故可便于民生日用傳之數千百年至今不變也觀夫市廛貿易之區百貨羅列精粗美惡貴賤之不同則其數殊焉多寡長短大小之不同則其數又殊焉凡欲以其所有易其所無者必握算而計之其所斤斤計較者莫非數也設有人言吾可用他法以代其數天誰能信之良以其乘除加減不過舉手之勞頃刻而得無有奧邃難明之理在其間本無藉乎代也惟是數理幽深最耐探索疇人演算務闡精微于是乎設題愈難布算愈繁甚至經旬累月不能畢一數且其所求之數往往雜糅隐匿于各數之内而其理亦纡遠而不易明若每事必設一題每題必立一術枝枝節節而為之術之多将不可勝紀而仍不足以窮數理之變則不如任數理之萬變而我立一通法以馭之此中法之天元西法之代數所由作也代數之術其已知未知之數皆代之以字而乘除加減各有記号以為區别可如題之曲折以相赴迨夫層累已明階級已見乃以所代之數入之而所求之數出焉故可以省算學之工而心亦較逸以其可不藉思索而得也雖然代數之術誠簡矣誠便矣試問工此術者遂能不病其繁乎則又不能也夫人之用心日進而不已苟不至昏眊迷亂必不肯中辍故始則因繁而求簡及其既簡也必更進焉而複遇其繁雖疊代數十次其能免哉由是知代數之意乃為數學中鈎深索隐之用非為淺近之算法而設也若米鹽零雜之事而概欲以代數施之未有不為市儈所笑者也至于代數天元之異同優劣讀此書者自能知之無待餘言也 論四元相消之理 湯金鑄 四元之書今所存者以元朱漢卿四元玉監為最古然四元實由天元所推廣而天元則宋秦道古數學九章元李鏡齋測圓海鏡益古演段郭邢台授時厤艹皆着其法今并存唐王又孝通輯古算經所立諸術多與天元四元所衍得者同疑亦據此而作也考九章算術少廣章曰借一算為法步之似即立天元一所自始顧天元因借一而立然所借止于一用猶未廣故推衍為四元而四元法則悉本方程以為用也蓋天元地元即方程之一色二色而今式雲式即方程之一行二行故方程多一色須多一行猶元術多一元即多一式四元之相消無異方程之互乘對減方程對減一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然則對減者方程之轉樞而相消者實四元之關鍵矣夫相消原與常法相減無異而理則有殊蓋減則數有大小即有減餘之數而相消必兩數參差相等消後數有對者汰之無對者列為正負存之故所得必正負相當而等于無數天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者須得相等兩如積相消遇寄左數須開平方始與又數等者即又數等于左數之平方根也故以又數自乘即與寄左數相等因自乘必無奇零開方數常不盡故以此通之也或遇左數當以某數除之始與又數等者即又數小于左數若幹倍也則以其數乘又數令大若幹倍即與左數相等因如積常不受除故以此通之也兩數既等即可消為一行得開方式若立二元者既有兩如積相消而得一式矣然式中又有兩元之和數或較數則兩元仍不可知故必更求兩如積相消而得又一式乃以此二式相消得開方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行乘右式則二式之最左一行必相同而相消必盡猶方程之互乘對減必減去最上一層也知其必盡故不必乘亦不必減所以省算也如是屢乘屢消以消至一行止為開方式若遇兩式中左行之數彼大于此若幹倍者可以約率求之不必互乘蓋互乘所以齊同今此既小于彼若幹倍則依若幹倍之即與彼齊同矣遇兩式之行數不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇層數高下不同者亦然如右式有數在太上一層左式太下一層始有數可令右式降而從之或以左式升而從之其能任意升降者如以天元一除之或乘之也若立三元則可任意升降而不可任意左右蓋地人兩元互相牽制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元則牽制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行數層數不齊者必用剔消法馭之剔消之理因各式之數既正負相當則任以一數乘之或除之其相當固不變即其數任分為二各自乘相減所得仍相當不變也故三元法遇各式行數多少不齊即将少行之式直剔為二各自乘而相消則數本為元者可增而為面體及多乘方可與多行之式相消矣四元法遇各式行數層數均不齊者則直剔一式使少行增為多行又橫剔一式使少層增為多層亦可與多行多層者相消矣至舊法天物相乘地人相乘得數皆紀于夾縫中式中有此則視其由何數相乘而得者即以其數除而去之若不受除則乘他式以齊之凡此皆不外通分齊同之義而能盡相消之用者也 正負相當等于無數則任以數乘之除之或自乘開方或剔乘相消必仍相當而等于無數作者以此釋相消之理良由于四元代數貫徹純熟故能語必破的 九減法及任用他數減試說 沈善蒸 驗乘除之誤舊傳九減之外其三四六七八皆可作減試之法惟一二五不可用因乘除之誤恒差一二五等數故也梅氏算書祗有九減七減兩法因用他數減試之法均同七減故用他數之減法可不俱載焉按九減法無論驗加減乘除之誤先以法數各位相并滿九者以九減之減至不滿九而止又實數得數并減亦如之并減過之數法仍為法實仍為實如驗乘法者仍相乘驗除法者仍除之驗加減者仍加減之所得之數滿九者又九減之必與減過之原得數相同是為無誤若不同必有誤矣七減法則稍異不能各位相并須從首位次第以七減之減至尾位不滿七而止減畢後乘除加減試驗之法皆與九減同試言其理夫數起于一極于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一與十百千萬之較數為九九十九九百九十九九千九百九十九按此諸較數俱為九之倍數以九減之俱能卻盡無餘又如三與三十之較數二十七七與七十之較數六十三亦為九之倍數故無論何數退下一位或幾位即與九減幾次無異譬如八十退下一位變為八即如八十以九減八次亦為八所以九減之法十百千萬均可并入單位而他減則不能并也又準此理九減之法可以改為以并代減更為簡捷假如八百六十五萬五千七百八十四今欲以并代減将各位相并得四十三又相并得七則與九減減得之數同若論用他數減試視九減孰為難易則他減難而九減易因九減可并故也然九減法有利亦必有弊凡乘除之誤往往因加錯位次與減錯位次者居多乃九減不能驗出此等之誤因九減亦不計位次之故是以九減雖稱捷法誠不如七減之盡善也 論海洋深淺之理 沈善蒸 依重心之理而論大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全體各質點皆有吸力各點互吸其力必聚于公重心猶之一重物各質點皆有重率而重心必歸于一點也凡萬物之有重力皆因地球吸力所緻而重力與吸力原非二物故吸力之心即重心無疑所以地面上有物墜下必向地球之公重心而海面恒與重心至地面徑線成正交故重心即球心也又因地球以二極為軸每日東轉一周而生離心力焉故北半球之垂線俱向重心而稍偏南垂線者即懸線也南半球之垂線俱向重心而稍偏北維赤道與二極地方之垂線直向重心是以地球為微匾形矣今閱地圖北半球陸地多于南半球若使海洋深淺略同則北半球地質多于南半球是北半球重而南半球輕其公重心必偏在北半球海水亦随之而北乃北半球之低地沒為海南半球之淺海變為陸何能成現在之形狀以鄙意度之北半球之海洋應倍深于南半球之海洋故北半球洋面雖少以深補之仍不為少南半球洋面雖多以淺消之仍不為多乃兩半球之地質輕重相等而重心亦無偏北之勢庶能成現在之形狀又大西洋應深于太平洋之理亦然不知此論然否須質諸泰西測海家驗以實測方可自信如其不然必因地質有松密北半球地質多而松南半球地質少而密亦能輕重相等可使重心不偏也 質點 韓應陛 歐羅巴人光性論雲物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以為人之不能分非物之不可分以幾何之理言之物雖大合之可至無窮雖微分之可至無窮尺椎之說也而以為物有不可分之地者何也定質質點大水質點小水質點大氣質點小氣中各類應又分何類質點大何類質點小九與黍大小懸殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴則丸相聚下至盡囷而正盂底穴則黍相聚下至盡盂而止其下之形與水之下之形無以異也顧囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸則丸不得下也盂之穴不大于黍則黍不得下也故丸也黍也以網盛則下以布帛盛則不下布帛以盛水則下陶為密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也比陶為尤密矣質較疏者以盛水水無沁于外以盛油久而油沁于外孔大油粒小也水粒之大大于孔油粒之大不大于孔也據此而知凡物質之有點點之有原度不獨定質重流質亦有之則亦可推此而知不獨重流質輕流質亦有之輕流質之有質點雖無據豈遂不能更有他器烈以測而知之者乎而今則未有其器可以測而知之者也 極說 韓應陛 凡可論之物有有極者有無極者有兩端皆有極者有一端有極一端無極者一端有極一端無極者數也度也數始于一一數之至小也不可更減也故即以是為小極由是而遞加加之而至無窮也此小有極大無極者也度終于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是為大極由是而遞減減之而至無窮也此大有極小無極者也兩端皆有極者南北極是也幾何之理是也幾何之理始于點終于體點不可減故為小極體不可加故為大極點不但不可減亦不可加使點可加加而為線是點雖不本大而固可使大維其不可加使大故終于點終于小也故為小極也體不但不可加亦不可減使體可減減而為面是體雖不本小而固可使小惟其不可減使小故終于體終于大也故為大極也是兩端皆有極者也而幾何中線加減不離線遞減不及點遞加不及面面加減不離面遞減不及線遞加不及體體加減不離體遞減不及面遞加減不及他形也是線也面也體也小亦無極也大亦無極也是兩端皆無極者也而線以兩點為界即以兩點為極而兩端可引之至無窮是兩端皆無極者也面以心一點為心線為界體以重心一點為心面為界心為小極線為大極重心為小極面為大極也而面之心一而已其界之線遞加而無窮也遞減而無窮也體之重心一而已其界之面遞加而無窮也遞減而無窮也是又小有極大無極者也一端有極一端無極者也投物水中水之浪層層相生以至無窮投物處極也其層層相生而無窮者無極也聲亦然出聲處為極聲漸遠而漸微者無極也光亦然出光處為極光漸遠而漸暗者無極也地球之理亦如是也地球以地心為極而水附于土以共為一球氣又附于水土以共為一大球地心吸力極大以漸而減地心吸力地質點滞力用足相反也力足相敵也力相敵故相定幾何度球面距地心一裡吸力幾何則等幾何度球面距地心加一倍為距二裡其吸力必減四倍何也距地心二裡球面必四倍大于距地心一裡球面也則距地心二裡球面質點滞力必四倍大于距地心一裡球面質點滞力也夫地心吸力加于地質遞加遞進以至地面亦加于水遞及水面地水之上地心吸力又加風氣使地心吸力不加風氣則風氣之性既自生漲力能推諸點四面散行漸遠地心地水向心風氣離心方向相反地上氣下應生空隙今乃不然足證非是地心吸力加于地質漸遠漸減以至地面地面之上又加風氣漸遠漸減以至無窮何也地面風氣漲力有幾何重可測而知如以玻璃方器抽出風氣外面風氣擠逼立碎試問此器不用風氣用幾何力方能擠碎設雲一十六兩則風氣擠力極小當不能減于一十六兩擠力漲力名異實同非有二義地心至地面萬五千裡據上所雲其距倍是為三萬裡面大四倍力減四倍吸力漲力為成四兩使更倍是為六萬裡面大四倍力減四倍吸力漲力為成一兩其距遞加其力遞減遞加之數可至無窮遞減之數去多存少去三存一終存四一亦自無窮譬如尺椎日取其半萬世不竭使不取半日取四三萬世之後終存四一是故地心吸力最大漸遠漸減以至地面又加風氣漸遠漸減以至無窮永無盡界地心極也其漸遠漸減而無窮者無極也故風氣盡界說稱風氣愈高愈薄漲力愈小漲力能推諸點四面散行漸遠地心其方向與地心力對面此言是也至稱漲力漸小至與地心力相等風氣諸點不複推開而有盡界者其義非是也 繙譯航海通書原本 金楷理 是書所列日月行星每日躔度悉照英國都城外之觀象台地名固林為志經所定其地在赤道北緯五十一度二十八分三十八秒凡日月星從午迤西旋轉複至午為一日所曆之太陽平時日月星多寡不同在日則曰太陽日二十四時在月則曰太陰日約二十五時弱即今日過午至明日過午為一日在行星則各有行星日在恒星則有恒星日二十三時五十六分三秒半弱其命時也悉以太陽平時為宗　設太陽為不動則地軸旋轉及繞日其方向終古不變月星繞日從地心見其遲速不一成各星日也 測算有平時真時之别按鐘表走時平分即太陽之平時日晷測時不平分即太陽真時其理解見譯之航海通書 凡鐘表宜照平時開準蓋真時由測星而得平時以意平分之謂為平時者别于真時也 平時真時之較曰時差每日午正以所差之數列如表 設于一千八百七十年正月初一日在該處測日心正交午所得之午正即為該處真時查其時差為三分五十一