卷二十三

者即古之四遊儀貫於二極之雙環為四遊圈兩面皆刻三百六十度定於遊圈之兩極者為直距绾於直距之中心者為窺衡遊圈中要設直表以指經度及時窺衡右旁設直表以指緯度此古今所同無容置議者也是故體制仿乎渾天之舊而時度尤為整齊運量同於赤道新儀而重環更能合應至於借表窺測則上下左右無不宜焉夫羲和遺制不可考已漢世以來或作而不傳或傳而不久蓋制器尚象若斯之難也而稽古宜今至我 朝乃臻盡善易系傳雲備物緻用立成器以為天下利莫大乎聖人讵不信乎 弧線 弧三角形 弧三角形者球面弧線所成也古專家有黃赤相準之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術惟元郭守敬以弧矢命算黃赤相承始有定率視古為密但其法用三乘方取數甚雜自西人利瑪窦湯若望等繙譯算書始有曲線三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相應之八線弧與弧相交即線與線相遇而勾股比例焉於是乎有黃道可以知赤道有赤道可以知黃道有經可以知緯有緯可以知經觀象之法至此而備勾股之用至此而極矣 正弧三角形 正弧三角形必有一直角者蓋因南北二極為赤道之樞紐皆距赤道九十度蓋凡過南北二極經圈與赤道相交所成之角俱為直角其相當之弧皆九十度又凡有一圈即有兩極其過兩極經圈與本圈相交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形蓋以弧角之八線所成勾股比例不生於本形而生於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所成故用本形之餘弦餘切即用次形之正弦正切也其法可易弧為角易角為弧【若斜弧三角形可易大形為小形易大邊為小邊鈍角為銳角】邊與角雖不相對可易為相對且知三角即可以求邊其理實一以貫之也 斜弧三角形 弧三角之有斜弧形猶直線三角之有鋭鈍形也但直線三角之鋭鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱鋭或三角俱鈍或兩鋭一鈍或兩鈍一鋭其三邊或俱大過於九十度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參錯成形為類甚多而新法數書所載推算之法益複繁雜難稽蓋三角三邊各有八線但線與線之比例相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所用之法彼此互異遂使學者莫知所從茲約以三法求之無論角之銳鈍邊之大小并視先所知之三件為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角【或求角而無對角之邊或求邊而無對邊之角】則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角【或三邊求角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間】則用總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣 【臣】等謹按考成上編所載弧三角形備列綱領條目圖說相求比例總較之法誠以恒星七政皆藉是以推步也茲録總論及正斜形各一篇附於儀象之後學天文者因器求線神而明之簡易之妙不外斯雲 皇朝通志卷二十三