附錄 五、 相對論與空間問題。（三）
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（２）廣義相對論的空間概念。
廣義相對論的起因主要是力圖對慣性質量和引力質量的同等性有所了解。
我們從一個慣性系Ｓ１來說起，這個慣性系的空間從物理的觀點盾來是空虛的。
換句話說，在所考慮的這部分空間中，既沒有物質（按照通常的意義），也沒有場（按照狹義相對論的意義）。
設有另一個參考系Ｓ２相對于Ｓ１作勻加速運動。
這時候Ｓ２就不是一個慣性系。
對于Ｓ２來說，每一個試驗物體的運動都具有一個加速度，這個加速度與試驗物體的物理性質和化學性質無關。
因此，相對于Ｓ２，最少就第一級近似而言，就存在着一種與引力場無法區分的狀态。
因此，下述概念是與可觀察的事實相符的：Ｓ２也可以相當于一個&ldquo慣性系&rdquo；不過相對于Ｓ２又另存在勻）引力場（關于這個引力場的起源，這裡不必去管它）。
因此，當讨論的體系中包括引力場時，慣性系就失去了它本身的客觀意義（假定這個&ldquo等效原理&rdquo可以推廣到參考系的任何相對運動）。
如果在這些基本觀念的基礎上能夠建立起一個合理的理論，那麼麼這個理論本身将滿足慣性質量與引力質量相等的事實，而這個事實是已被經驗所充分證實的。
從四維的觀點來考慮，四個坐标的一種非線性變換對應于從Ｓ１到Ｓ２的過渡。
這裡産生了一個問題：哪一種非線性變換是可能的，或者說，洛倫茲變換是怎樣推廣的？下述考慮對于回答這個問題具有決定性的意義。
設早先的理論中的慣性系具有這個性質：坐标差由固定不移的&ldquo剛性&rdquo量杆測量，時間差由靜止的鐘測量。
對第一個假定還須補充以另一個假定，即對于靜止的量杆的相對展開和并接而言，歐幾裡得幾何學關于&ldquo長度&rdquo的諸定理是成立的。
這樣，經過初步的考慮，就可以從狹義相對論的結果得出下述結論：對于相對于慣性系（Ｓ１）作加速運動的參考系（Ｓ２）而言，對坐标标作此種直接的物理解釋不再是可能的了，但是，如果情況是這個的話，坐标現在就隻能表示&ldquo鄰接&rdquo的級或秩，也就是隻能表示空意願維級，但一點也不能表示空意願度規性質。
這樣我們就意識到從已有的變換推廣到任意連續變換的可能性。
而這裡就已具有廣義相對性原理的含義：&ldquo自然律對于任意連續的坐标變換必須是協變的&rdquo。
這個要求（連帶着自然律應具有最大可能的邏輯簡單性的要求）遠比狹義相對性原理更為有力地限制了一切自然律。
這一系列的觀念主要是以場作為一個獨立的要領為基礎的。
因為，對于Ｓ２有效的情況被解釋為一種引力場，而并不問其是否存在着産生這個引力場的質量。
借助于這一系列的觀念，還可以理解到為什麼純引力場定律比起一般的場（例如在有電磁場存在的時候）的定律來，它與廣義相對論有更為直接的聯系。
也就是說，我們有充分的理由假定，&ldquo沒有場&rdquo的闵可夫斯基空間表示自然律中可能有的一種特殊情況，事實上這是可以設想的最簡單的特殊情況。
就其度規性質而言，這樣的空間的特性可由下述的方式表示：等于一個三維&ldquo類空&rdquo截面上無限接近的兩點的空間間隔的實測值（用單位标準長度量度）的平方（畢達哥拉斯定律）；而ｄｘ４（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的兩個事件的時間間隔（以适當的計時标準量度）。
這一切隻不過是意味着将一種客觀的度規意義賦予下面這個量： （１） 這點也不難借助于洛倫茲變換來予以證明。
從數學觀點上來說，這個事實對應于這個條件：ｄＳ２對于洛倫茲變換是不變的。
如果按照廣義相對性原理的意義，令這個空間（參照方程（１））作一任意連續的坐标變換，那麼這個具有客觀意義的量ｄＳ在新的坐标系中即以下列關系式表示： 此式的右邊要對指标Ｉ和ｋ從１１，１２，直到４４的全部組合求和。
這裡諸項也并不是新坐标的任意函數，而是必須正好使形式（ｌａ）經過四個坐标的連續的變換仍能還原為形式（１）的這樣一類函數。
為了使這一點成為可能，諸函數ｇｉｋ必須滿足某些普遍協變條件方程，這些方程是在建立廣義相對論以前半個多世紀時由黎曼導出的（&ldquo黎曼條件&rdquo）。
按照等效原理，當諸函數ｇｉｋ滿足黎曼條件時，（ｌａ）就以普遍協變形式描述了一種特殊的引力場。
（２）廣義相對論的空間概念。
廣義相對論的起因主要是力圖對慣性質量和引力質量的同等性有所了解。
我們從一個慣性系Ｓ１來說起，這個慣性系的空間從物理的觀點盾來是空虛的。
換句話說，在所考慮的這部分空間中，既沒有物質（按照通常的意義），也沒有場（按照狹義相對論的意義）。
設有另一個參考系Ｓ２相對于Ｓ１作勻加速運動。
這時候Ｓ２就不是一個慣性系。
對于Ｓ２來說，每一個試驗物體的運動都具有一個加速度，這個加速度與試驗物體的物理性質和化學性質無關。
因此，相對于Ｓ２，最少就第一級近似而言，就存在着一種與引力場無法區分的狀态。
因此，下述概念是與可觀察的事實相符的：Ｓ２也可以相當于一個&ldquo慣性系&rdquo；不過相對于Ｓ２又另存在勻）引力場（關于這個引力場的起源，這裡不必去管它）。
因此，當讨論的體系中包括引力場時，慣性系就失去了它本身的客觀意義（假定這個&ldquo等效原理&rdquo可以推廣到參考系的任何相對運動）。
如果在這些基本觀念的基礎上能夠建立起一個合理的理論，那麼麼這個理論本身将滿足慣性質量與引力質量相等的事實，而這個事實是已被經驗所充分證實的。
從四維的觀點來考慮，四個坐标的一種非線性變換對應于從Ｓ１到Ｓ２的過渡。
這裡産生了一個問題：哪一種非線性變換是可能的，或者說，洛倫茲變換是怎樣推廣的？下述考慮對于回答這個問題具有決定性的意義。
設早先的理論中的慣性系具有這個性質：坐标差由固定不移的&ldquo剛性&rdquo量杆測量，時間差由靜止的鐘測量。
對第一個假定還須補充以另一個假定，即對于靜止的量杆的相對展開和并接而言，歐幾裡得幾何學關于&ldquo長度&rdquo的諸定理是成立的。
這樣，經過初步的考慮，就可以從狹義相對論的結果得出下述結論：對于相對于慣性系（Ｓ１）作加速運動的參考系（Ｓ２）而言，對坐标标作此種直接的物理解釋不再是可能的了，但是，如果情況是這個的話，坐标現在就隻能表示&ldquo鄰接&rdquo的級或秩，也就是隻能表示空意願維級，但一點也不能表示空意願度規性質。
這樣我們就意識到從已有的變換推廣到任意連續變換的可能性。
而這裡就已具有廣義相對性原理的含義：&ldquo自然律對于任意連續的坐标變換必須是協變的&rdquo。
這個要求（連帶着自然律應具有最大可能的邏輯簡單性的要求）遠比狹義相對性原理更為有力地限制了一切自然律。
這一系列的觀念主要是以場作為一個獨立的要領為基礎的。
因為，對于Ｓ２有效的情況被解釋為一種引力場，而并不問其是否存在着産生這個引力場的質量。
借助于這一系列的觀念，還可以理解到為什麼純引力場定律比起一般的場（例如在有電磁場存在的時候）的定律來，它與廣義相對論有更為直接的聯系。
也就是說，我們有充分的理由假定，&ldquo沒有場&rdquo的闵可夫斯基空間表示自然律中可能有的一種特殊情況，事實上這是可以設想的最簡單的特殊情況。
就其度規性質而言，這樣的空間的特性可由下述的方式表示：等于一個三維&ldquo類空&rdquo截面上無限接近的兩點的空間間隔的實測值（用單位标準長度量度）的平方（畢達哥拉斯定律）；而ｄｘ４（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的兩個事件的時間間隔（以适當的計時标準量度）。
這一切隻不過是意味着将一種客觀的度規意義賦予下面這個量： （１） 這點也不難借助于洛倫茲變換來予以證明。
從數學觀點上來說，這個事實對應于這個條件：ｄＳ２對于洛倫茲變換是不變的。
如果按照廣義相對性原理的意義，令這個空間（參照方程（１））作一任意連續的坐标變換，那麼這個具有客觀意義的量ｄＳ在新的坐标系中即以下列關系式表示： 此式的右邊要對指标Ｉ和ｋ從１１，１２，直到４４的全部組合求和。
這裡諸項也并不是新坐标的任意函數，而是必須正好使形式（ｌａ）經過四個坐标的連續的變換仍能還原為形式（１）的這樣一類函數。
為了使這一點成為可能，諸函數ｇｉｋ必須滿足某些普遍協變條件方程，這些方程是在建立廣義相對論以前半個多世紀時由黎曼導出的（&ldquo黎曼條件&rdquo）。
按照等效原理，當諸函數ｇｉｋ滿足黎曼條件時，（ｌａ）就以普遍協變形式描述了一種特殊的引力場。