第十一章 創世年代
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140倍。
目前大量存在的钍和鈾238表明，這些元素最多是在幾十億年前開始形成的。
少量存在的鈾235也使我們能夠作進一步的估算。
事實上，如果這種元素的量每5億年減少一半，那麼必須經過大約7個這樣的半衰期即35億年，它的量才能減少到1/140（因為）。
完全從核物理學數據對化學元素的年齡所作的這種估算，與從純粹的天文學數據中得到的行星、恒星和星系的年齡符合得極好！ 但在幾十億年前萬物初成的早期階段，宇宙處于何種狀态呢？這期間又發生了什麼變化把宇宙變成了現在這個樣子呢？ 我們可以通過研究&ldquo宇宙膨脹&rdquo現象來最完整地回答上述問題。
在上一章我們已經看到，在廣袤的宇宙空間裡散布着數不清的巨大星系，太陽隻是其中一個星系即銀河系所包含的幾百億顆恒星當中的一顆。
我們還看到，就視力所及而言（當然要借助于200英寸口徑的望遠鏡），這些星系多多少少是均勻分布的。
在研究來自這些遙遠星系的光譜時，威爾遜山的天文學家哈勃發現這些譜線都朝光譜的紅端移動了一點點，而且星系越遠，這種&ldquo紅移&rdquo就越大。
事實上我們發現，不同星系的&ldquo紅移&rdquo大小正比于它們與我們的距離。
對于這種現象，最自然的解釋是假設所有星系都在遠離我們，而且離我們越遠，速度就越大。
這種解釋建立在所謂&ldquo多普勒效應&rdquo的基礎上：光源接近我們時，光的顔色就會向光譜的紫端移動；光源遠離我們時，光的顔色就會向紅端移動。
當然，要想獲得明顯的譜線移動，光源與觀察者的相對速度必須很大。
伍德（R.W.Wood）教授曾因在巴爾的摩闖紅燈而被拘捕。
他告訴法官，由于這種現象，紅光在他看來是綠色的，因為他正在乘車接近信号燈。
這位教授純粹是在愚弄法官。
倘若法官物理學懂得再多一點，他就會問伍德教授，要把紅光看成綠光，其駕駛速度得有多高才行，然後再以超速的理由罰錢！ 讓我們回到星系的&ldquo紅移&rdquo問題上來。
初看起來，我們的結論有些尴尬。
宇宙中的所有星系仿佛都在遠離我們的銀河系，難道銀河系是一個巨大的怪物嗎？它能有什麼可怕的性質呢？它看起來為何如此與衆不同？對這個問題稍加考慮就會發現，我們的銀河系并沒有什麼特殊之處，事實上，其他星系并非隻遠離它，而是所有星系都在彼此遠離。
設想有一個氣球，上面塗有一個個小圓點（圖127）。
若把氣球吹得越來越大，則各點之間的距離将會不斷增加，待在任何一個圓點上的昆蟲都會以為，所有其他各點都在&ldquo逃離&rdquo它這個點。
不僅如此，在這個膨脹的氣球上，各個點的退行速度将與它們和昆蟲的觀測點之間的距離成正比。
圖127 氣球膨脹時，其上各點都在彼此遠離 這個例子清楚地表明，哈勃觀測到的星系後退與我們銀河系所具有的特殊性質或所處的特殊位置毫無關系，而隻是因為散布在宇宙空間中的各個星系總體上在均勻膨脹罷了。
根據觀測到的膨脹速度和目前相鄰星系之間的距離，很容易計算出，這個膨脹至少始于50億年前。
93 在此之前，被我們稱為星系的各個星雲正在形成均勻分布在整個宇宙空間中的恒星。
沿時間繼續往前，這些恒星本身也都緊緊擠在一起，使宇宙中充滿了連續分布的熾熱氣體。
再往前，這種氣體越來越緻密和熾熱，這顯然是形成各種化學元素（特别是放射性元素）的時期。
再往前一步，宇宙物質都被擠成了我們在第七章讨論的那種超密、超熱的核液體。
現在讓我們把這些觀測結果整合起來，按正确的順序看看宇宙演化發展的标志性事件吧。
故事始于宇宙的胚胎階段，那時威爾遜山望遠鏡（即半徑在5億光年範圍内）視野範圍内的一切物質都被擠在一個半徑隻有太陽半徑8倍左右的球内。
94但這種極為緻密的狀态不會持續很久，因為隻需兩秒鐘，迅速的膨脹就會使宇宙密度下降到水密度的幾百萬倍，幾小時後就會下降到水的密度。
大概在這個時候，以前連續的氣體分裂成了現在構成一顆顆恒星的各個氣體球。
因持續膨脹而被分開的這些恒星後來又形成了被我們稱為星系的各個星雲，它們至今仍然在彼此後退，進入未知的宇宙深處。
我們現在可以追問：是什麼樣的力導緻了宇宙膨脹呢？這種膨脹會不會停止，甚至變成收縮呢？正在膨脹的宇宙是否有可能轉過頭來，将銀河系、太陽、地球和人重新擠成具有原子核密度的漿狀物呢？ 根據基于非常可靠的信息所得出的結論，這種事情絕不可能發生。
很久以前，在宇宙演化的早期階段，膨脹的宇宙沖破了所有可能将它維持在一起的鎖鍊，正按照簡單的慣性定律無限膨脹下去。
這鎖鍊就是阻礙宇宙物質分離的引力。
讓我們舉一個簡單的例子進行說明。
假定從地球表面向太空發射一枚火箭。
我們知道，包括著名的V-2火箭在内的所有火箭都沒有足夠的推進力進入太空。
它們在重力的作用下會停止上升，落回地球。
但如果能使火箭的初始速度超過每秒11公裡（在原子噴氣推進式火箭的發展中，這個目标似乎是可以實現的），它就能擺脫地球重力的吸引而進入太空，并且不受阻礙地持續運動下去。
每秒11公裡的速度通常被稱為擺脫地球重力的&ldquo逃逸速度&rdquo。
現在設想有一枚炮彈在空中爆炸了，彈片朝四面八方飛去（圖128a）。
被爆炸力抛出的彈片抵抗住了把它們拉向共同中心的引力而飛散開來。
不用說，在這個例子中，彈片之間的相互吸引力弱到可以忽略不計，根本不會影響它們在空間中的運動。
但這種引力如果很強，就能使彈片停止飛行，落回它們共同的引力中心（圖128b）。
至于這些彈片是落回來還是無限制地飛離，則取決于它們動能和引力勢能的相對大小。
圖128 将彈片換成星系，就能得出前面描繪的膨脹宇宙圖景。
但由于各個星系的巨大質量使引力勢能變得與動能不相上下，95因此隻有認真研究這兩種能量才能判定宇宙膨脹的前景。
根據目前掌握的最可靠的星系質量數據，相互遠離的星系的動能要比其相互引力勢能大好幾倍，因此可以推論，我們的宇宙會無限膨脹下去，而不會被引力重新拉近。
但要記住，有關整個宇宙的數據大都不夠精确，未來的研究也許會把這個結論颠倒過來。
不過，即使宇宙真的突然停止膨脹，轉而進行收縮，也需要幾十億年的時間。
因此，黑人靈歌裡所設想的&ldquo星星開始墜落&rdquo、我們被坍縮星系的重力壓得粉身碎骨的那一天還為時尚早。
究竟是什麼烈性炸藥使宇宙的各個部分以可怕的速度相互飛離呢？對這個問題的回答可能會讓你有些失望：也許根本就不曾有過尋常意義上的爆炸。
宇宙現在之所以在膨脹，是因為在此之前的某個曆史時期（當然沒有留下任何曆史記錄），它曾經從無限收縮成一種極為緻密的狀态，然後又反彈回來，仿佛是被壓縮物質内部的強大彈力所推動。
如果你走進一間球室，正好看到一隻乒乓球從地闆升入空中，你會不假思索地推斷說，你進屋之前這隻乒乓球一定從某個高度落到了地闆上，并且在彈力的作用下再次跳起來。
現在，讓我們盡情發揮一下想象力，問問自己在宇宙的壓縮階段，現在發生的一切事物是否是以相反次序發生的。
在80億年或100億年前，你是否在從後往前讀這本書？那時的人是先從嘴裡扯出一隻炸雞，在廚房裡使之複活，再把它送到養雞場嗎？而在養雞場，它是否是先從大雞長成小雞，然後縮進蛋殼，最後變成一枚鮮雞蛋呢？這些問題雖然有趣，卻不能從純科學的角度來回答，因為宇宙的大壓縮已将所有物質擠成了一種均勻的核液體，以前各個壓縮階段的所有記錄必定已被完全抹掉。
*** 1 這是就目前最大的望遠鏡所能探測的那部分宇宙而言。
2 斯塔迪姆（stadium）是古希臘的長度單位，1斯塔迪姆=606英尺6英寸或188米。
3 如果用我們的記數法來表示，這個數是： 一千萬 第二級 第三級 第四級 (10000000)×(100000000)×(100000000)×(100000000)× 第五級 第六級 第七級 第八級 (100000000)×(100000000)×(100000000)×(100000000) 或直接寫成： 1063（即1的後面有63個零）。
4 這位機智的大臣所要的麥粒數可以表示如下； 1+2+22+23+24+&hellip&hellip262+263。
在算術中，每一項都是前一項的固定倍數的數列被稱為幾何級數（在我們這個例子中，這個倍數是2）。
可以證明，這種級數的所有項之和等于固定倍數（這裡是2）的項數（這裡是64）次幂減去第一項（這裡是1）所得的差除以固定倍數減1，即： 結果寫出來就是18446744073709551615。
5 W.W.R.Ball,MathmaticalRecreationsandEssays(TheMacrnillanCo.,NewYork,1939). 6 瓦拉納西，又稱貝拿勒斯，印度北方邦城市，是印度教七聖城之一。
&mdash&mdash譯者 7 如果隻有7個金片，則需要移動的次數為： 1+21+22+23+&hellip&hellip，或者 27-1＝2×2×2×2×2×2×2-1＝127。
如果你準确無誤地迅速移動金片，那麼完成這項任務大概需要一個小時。
當金片為64片時，需要移動的總次數為： 264-1＝18446744073709551615。
它等于施賓達所要求的麥粒數。
8 引自R.Courant,TheCompleteCollectionofHilbertStories，該書從未出版，甚至從未寫成文字，但廣為流傳。
9 這些小數都小于1，因為我們已經假定線的長度是1。
10 例如，由0.735106822548312&hellip這個小數，我們可以分成以下三個新的小數： 0.71853&hellip， 0.30241&hellip， 0.56282&hellip。
11 簡單地說，一個數的自然對數可以定義為它的普通對數乘以2.3026。
12 丢番圖的一般規則是：取任意兩個數a和b，使2ab是一個完全平方數。
令x=a+，y=b+，z=a+b+。
于是用代數方法很容易證明，x2+y2=z2。
用這個規則可以列出所有可能的解。
最前面幾個解是： 32+42=52（埃及三角形）， 52+122=132， 62+82=102， 72+242=252， 82+152=172， 92+122=152， 92+402=412， 102+242=262。
13 費馬大定理于1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯（AndrewWiles）所證明。
&mdash&mdash譯者 14 其他許多數的平方根也很容易求出。
例如＝2.236&hellip，因為（2.236&hellip）×（2.236&hellip）＝5.000&hellip；＝2.702&hellip，因為（2.702&hellip）×（2.702&hellip）=7.3000&hellip。
15 驗證如下： 16 為保密起見，這裡略去了文件上實際給出的經緯度數字。
17 出于與前面同樣的理由，這裡也改變了樹的名稱。
在熱帶的寶島上顯然會有其他各種樹木。
18 &ldquo幾何學&rdquo（geometry）一詞源自ge（大地）和metrein（測量）這兩個希臘詞。
在構造這個詞的時候，古希臘人對這門學科的興趣似乎主要來源于他們的不動産。
19 這個詞在拉丁文和希臘文中的意思都是對位置的研究。
20 因這裡給出的幾個例子而對拓撲學問題感興趣的讀者，可以在《數學是什麼？》中找到更詳細的讨論。
21 德國吞并前用三種顔色就夠了：瑞士用綠色，法國和奧地利用紅色，德國和意大利用黃色。
22 就塗色問題而言，平面地圖和球面地圖的情況是相同的，因為解決了球面地圖的問題之後，我們總能在某個上色區域開一個小洞，然後把餘下的表面&ldquo攤開&rdquo在平面上。
這仍然是一個典型的拓撲學變換。
23 更确切地說，圖26給出的是一個四維的超正方體在我們三維空間中的投影在紙面上的投影。
24 如果你不明白這一點，可以設想一個有四個頂點和四條邊的正方形，垂直于其表面（沿第三個方向）将它移動邊長那麼長的距離，就又多出了四條邊。
25 嚴格而言，這裡我們應當說&ldquo世界束&rdquo，但從天文學的角度來看，我們可以把恒星和行星看成點。
26 實際上，太陽正相對于恒星移動，因此相對于恒星系統，太陽的世界線應當朝一側有所偏向。
27 如果這個交叉口真有一家銀行，那純屬巧合。
28 光波的振動己被證明垂
目前大量存在的钍和鈾238表明，這些元素最多是在幾十億年前開始形成的。
少量存在的鈾235也使我們能夠作進一步的估算。
事實上，如果這種元素的量每5億年減少一半，那麼必須經過大約7個這樣的半衰期即35億年，它的量才能減少到1/140（因為）。
完全從核物理學數據對化學元素的年齡所作的這種估算，與從純粹的天文學數據中得到的行星、恒星和星系的年齡符合得極好！ 但在幾十億年前萬物初成的早期階段，宇宙處于何種狀态呢？這期間又發生了什麼變化把宇宙變成了現在這個樣子呢？ 我們可以通過研究&ldquo宇宙膨脹&rdquo現象來最完整地回答上述問題。
在上一章我們已經看到，在廣袤的宇宙空間裡散布着數不清的巨大星系，太陽隻是其中一個星系即銀河系所包含的幾百億顆恒星當中的一顆。
我們還看到，就視力所及而言（當然要借助于200英寸口徑的望遠鏡），這些星系多多少少是均勻分布的。
在研究來自這些遙遠星系的光譜時，威爾遜山的天文學家哈勃發現這些譜線都朝光譜的紅端移動了一點點，而且星系越遠，這種&ldquo紅移&rdquo就越大。
事實上我們發現，不同星系的&ldquo紅移&rdquo大小正比于它們與我們的距離。
對于這種現象，最自然的解釋是假設所有星系都在遠離我們，而且離我們越遠，速度就越大。
這種解釋建立在所謂&ldquo多普勒效應&rdquo的基礎上：光源接近我們時，光的顔色就會向光譜的紫端移動；光源遠離我們時，光的顔色就會向紅端移動。
當然，要想獲得明顯的譜線移動，光源與觀察者的相對速度必須很大。
伍德（R.W.Wood）教授曾因在巴爾的摩闖紅燈而被拘捕。
他告訴法官，由于這種現象，紅光在他看來是綠色的，因為他正在乘車接近信号燈。
這位教授純粹是在愚弄法官。
倘若法官物理學懂得再多一點，他就會問伍德教授，要把紅光看成綠光，其駕駛速度得有多高才行，然後再以超速的理由罰錢！ 讓我們回到星系的&ldquo紅移&rdquo問題上來。
初看起來，我們的結論有些尴尬。
宇宙中的所有星系仿佛都在遠離我們的銀河系，難道銀河系是一個巨大的怪物嗎？它能有什麼可怕的性質呢？它看起來為何如此與衆不同？對這個問題稍加考慮就會發現，我們的銀河系并沒有什麼特殊之處，事實上，其他星系并非隻遠離它，而是所有星系都在彼此遠離。
設想有一個氣球，上面塗有一個個小圓點（圖127）。
若把氣球吹得越來越大，則各點之間的距離将會不斷增加，待在任何一個圓點上的昆蟲都會以為，所有其他各點都在&ldquo逃離&rdquo它這個點。
不僅如此，在這個膨脹的氣球上，各個點的退行速度将與它們和昆蟲的觀測點之間的距離成正比。
圖127 氣球膨脹時，其上各點都在彼此遠離 這個例子清楚地表明，哈勃觀測到的星系後退與我們銀河系所具有的特殊性質或所處的特殊位置毫無關系，而隻是因為散布在宇宙空間中的各個星系總體上在均勻膨脹罷了。
根據觀測到的膨脹速度和目前相鄰星系之間的距離，很容易計算出，這個膨脹至少始于50億年前。
93 在此之前，被我們稱為星系的各個星雲正在形成均勻分布在整個宇宙空間中的恒星。
沿時間繼續往前，這些恒星本身也都緊緊擠在一起，使宇宙中充滿了連續分布的熾熱氣體。
再往前，這種氣體越來越緻密和熾熱，這顯然是形成各種化學元素（特别是放射性元素）的時期。
再往前一步，宇宙物質都被擠成了我們在第七章讨論的那種超密、超熱的核液體。
現在讓我們把這些觀測結果整合起來，按正确的順序看看宇宙演化發展的标志性事件吧。
故事始于宇宙的胚胎階段，那時威爾遜山望遠鏡（即半徑在5億光年範圍内）視野範圍内的一切物質都被擠在一個半徑隻有太陽半徑8倍左右的球内。
94但這種極為緻密的狀态不會持續很久，因為隻需兩秒鐘，迅速的膨脹就會使宇宙密度下降到水密度的幾百萬倍，幾小時後就會下降到水的密度。
大概在這個時候，以前連續的氣體分裂成了現在構成一顆顆恒星的各個氣體球。
因持續膨脹而被分開的這些恒星後來又形成了被我們稱為星系的各個星雲，它們至今仍然在彼此後退，進入未知的宇宙深處。
我們現在可以追問：是什麼樣的力導緻了宇宙膨脹呢？這種膨脹會不會停止，甚至變成收縮呢？正在膨脹的宇宙是否有可能轉過頭來，将銀河系、太陽、地球和人重新擠成具有原子核密度的漿狀物呢？ 根據基于非常可靠的信息所得出的結論，這種事情絕不可能發生。
很久以前，在宇宙演化的早期階段，膨脹的宇宙沖破了所有可能将它維持在一起的鎖鍊，正按照簡單的慣性定律無限膨脹下去。
這鎖鍊就是阻礙宇宙物質分離的引力。
讓我們舉一個簡單的例子進行說明。
假定從地球表面向太空發射一枚火箭。
我們知道，包括著名的V-2火箭在内的所有火箭都沒有足夠的推進力進入太空。
它們在重力的作用下會停止上升，落回地球。
但如果能使火箭的初始速度超過每秒11公裡（在原子噴氣推進式火箭的發展中，這個目标似乎是可以實現的），它就能擺脫地球重力的吸引而進入太空，并且不受阻礙地持續運動下去。
每秒11公裡的速度通常被稱為擺脫地球重力的&ldquo逃逸速度&rdquo。
現在設想有一枚炮彈在空中爆炸了，彈片朝四面八方飛去（圖128a）。
被爆炸力抛出的彈片抵抗住了把它們拉向共同中心的引力而飛散開來。
不用說，在這個例子中，彈片之間的相互吸引力弱到可以忽略不計，根本不會影響它們在空間中的運動。
但這種引力如果很強，就能使彈片停止飛行，落回它們共同的引力中心（圖128b）。
至于這些彈片是落回來還是無限制地飛離，則取決于它們動能和引力勢能的相對大小。
圖128 将彈片換成星系，就能得出前面描繪的膨脹宇宙圖景。
但由于各個星系的巨大質量使引力勢能變得與動能不相上下，95因此隻有認真研究這兩種能量才能判定宇宙膨脹的前景。
根據目前掌握的最可靠的星系質量數據，相互遠離的星系的動能要比其相互引力勢能大好幾倍，因此可以推論，我們的宇宙會無限膨脹下去，而不會被引力重新拉近。
但要記住，有關整個宇宙的數據大都不夠精确，未來的研究也許會把這個結論颠倒過來。
不過，即使宇宙真的突然停止膨脹，轉而進行收縮，也需要幾十億年的時間。
因此，黑人靈歌裡所設想的&ldquo星星開始墜落&rdquo、我們被坍縮星系的重力壓得粉身碎骨的那一天還為時尚早。
究竟是什麼烈性炸藥使宇宙的各個部分以可怕的速度相互飛離呢？對這個問題的回答可能會讓你有些失望：也許根本就不曾有過尋常意義上的爆炸。
宇宙現在之所以在膨脹，是因為在此之前的某個曆史時期（當然沒有留下任何曆史記錄），它曾經從無限收縮成一種極為緻密的狀态，然後又反彈回來，仿佛是被壓縮物質内部的強大彈力所推動。
如果你走進一間球室，正好看到一隻乒乓球從地闆升入空中，你會不假思索地推斷說，你進屋之前這隻乒乓球一定從某個高度落到了地闆上，并且在彈力的作用下再次跳起來。
現在，讓我們盡情發揮一下想象力，問問自己在宇宙的壓縮階段，現在發生的一切事物是否是以相反次序發生的。
在80億年或100億年前，你是否在從後往前讀這本書？那時的人是先從嘴裡扯出一隻炸雞，在廚房裡使之複活，再把它送到養雞場嗎？而在養雞場，它是否是先從大雞長成小雞，然後縮進蛋殼，最後變成一枚鮮雞蛋呢？這些問題雖然有趣，卻不能從純科學的角度來回答，因為宇宙的大壓縮已将所有物質擠成了一種均勻的核液體，以前各個壓縮階段的所有記錄必定已被完全抹掉。
*** 1 這是就目前最大的望遠鏡所能探測的那部分宇宙而言。
2 斯塔迪姆（stadium）是古希臘的長度單位，1斯塔迪姆=606英尺6英寸或188米。
3 如果用我們的記數法來表示，這個數是： 一千萬 第二級 第三級 第四級 (10000000)×(100000000)×(100000000)×(100000000)× 第五級 第六級 第七級 第八級 (100000000)×(100000000)×(100000000)×(100000000) 或直接寫成： 1063（即1的後面有63個零）。
4 這位機智的大臣所要的麥粒數可以表示如下； 1+2+22+23+24+&hellip&hellip262+263。
在算術中，每一項都是前一項的固定倍數的數列被稱為幾何級數（在我們這個例子中，這個倍數是2）。
可以證明，這種級數的所有項之和等于固定倍數（這裡是2）的項數（這裡是64）次幂減去第一項（這裡是1）所得的差除以固定倍數減1，即： 結果寫出來就是18446744073709551615。
5 W.W.R.Ball,MathmaticalRecreationsandEssays(TheMacrnillanCo.,NewYork,1939). 6 瓦拉納西，又稱貝拿勒斯，印度北方邦城市，是印度教七聖城之一。
&mdash&mdash譯者 7 如果隻有7個金片，則需要移動的次數為： 1+21+22+23+&hellip&hellip，或者 27-1＝2×2×2×2×2×2×2-1＝127。
如果你準确無誤地迅速移動金片，那麼完成這項任務大概需要一個小時。
當金片為64片時，需要移動的總次數為： 264-1＝18446744073709551615。
它等于施賓達所要求的麥粒數。
8 引自R.Courant,TheCompleteCollectionofHilbertStories，該書從未出版，甚至從未寫成文字，但廣為流傳。
9 這些小數都小于1，因為我們已經假定線的長度是1。
10 例如，由0.735106822548312&hellip這個小數，我們可以分成以下三個新的小數： 0.71853&hellip， 0.30241&hellip， 0.56282&hellip。
11 簡單地說，一個數的自然對數可以定義為它的普通對數乘以2.3026。
12 丢番圖的一般規則是：取任意兩個數a和b，使2ab是一個完全平方數。
令x=a+，y=b+，z=a+b+。
于是用代數方法很容易證明，x2+y2=z2。
用這個規則可以列出所有可能的解。
最前面幾個解是： 32+42=52（埃及三角形）， 52+122=132， 62+82=102， 72+242=252， 82+152=172， 92+122=152， 92+402=412， 102+242=262。
13 費馬大定理于1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯（AndrewWiles）所證明。
&mdash&mdash譯者 14 其他許多數的平方根也很容易求出。
例如＝2.236&hellip，因為（2.236&hellip）×（2.236&hellip）＝5.000&hellip；＝2.702&hellip，因為（2.702&hellip）×（2.702&hellip）=7.3000&hellip。
15 驗證如下： 16 為保密起見，這裡略去了文件上實際給出的經緯度數字。
17 出于與前面同樣的理由，這裡也改變了樹的名稱。
在熱帶的寶島上顯然會有其他各種樹木。
18 &ldquo幾何學&rdquo（geometry）一詞源自ge（大地）和metrein（測量）這兩個希臘詞。
在構造這個詞的時候，古希臘人對這門學科的興趣似乎主要來源于他們的不動産。
19 這個詞在拉丁文和希臘文中的意思都是對位置的研究。
20 因這裡給出的幾個例子而對拓撲學問題感興趣的讀者，可以在《數學是什麼？》中找到更詳細的讨論。
21 德國吞并前用三種顔色就夠了：瑞士用綠色，法國和奧地利用紅色，德國和意大利用黃色。
22 就塗色問題而言，平面地圖和球面地圖的情況是相同的，因為解決了球面地圖的問題之後，我們總能在某個上色區域開一個小洞，然後把餘下的表面&ldquo攤開&rdquo在平面上。
這仍然是一個典型的拓撲學變換。
23 更确切地說，圖26給出的是一個四維的超正方體在我們三維空間中的投影在紙面上的投影。
24 如果你不明白這一點，可以設想一個有四個頂點和四條邊的正方形，垂直于其表面（沿第三個方向）将它移動邊長那麼長的距離，就又多出了四條邊。
25 嚴格而言，這裡我們應當說&ldquo世界束&rdquo，但從天文學的角度來看，我們可以把恒星和行星看成點。
26 實際上，太陽正相對于恒星移動，因此相對于恒星系統，太陽的世界線應當朝一側有所偏向。
27 如果這個交叉口真有一家銀行，那純屬巧合。
28 光波的振動己被證明垂