第十六章 劄馬魯丁 郭守敬
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文年曆或民用曆書時，都隻能用一種曆元為主，而把其他曆元都歸算到這個指定的曆元時間系統中去。
在中國古代，這些歸算的目标和方法都比較特殊。
實際上是推算出一個理想的曆元，這個曆元是各種天文周期的共同起點。
因此，這個理想的曆元一定離開現實生活的時代十分遙遠。
古人稱之為上元。
随着天文觀測的進步，各種天文周期的數值測定得越來越精确，這個上元離開現實③孫小淳《〈三垣列舍入宿去極集〉提要》，《中國科技典籍通彙·天文學卷》，河南教育出版社1995年版。
①潘鼐、向英：《郭守敬》，第三章第（三）節，第79&mdash86頁。
②現代曆書天文學關于黃赤交角&epsilon值的計算公式是由美國天文學家紐康（SimonNewcomb）于1901年提出的，公式為：&epsilon＝23°27＇08&Prime.26&mdash46&Prime.845T－0&Prime.00591T2＋0&Prime.00181T3式中T是從1900年起算的儒略世紀數（1儒略世紀＝36525日），往過去為負。
也越來越遠。
例如，金代趙知微的《重修大明曆》中的上元，離他的編曆年份竟有8863萬餘年。
如此巨大的數字要在曆法編算中使用，對古人來說是件極其費力的事。
因此，到郭守敬時代，王恂等人就決定斷然廢除上元。
他們改用至元十八年（1281）天正冬至（即至元十八年開始之前的那個冬至時刻，實際上在至元十七年内）為其主要起算點。
其他各種天文周期的曆元，均推算出與該冬至時刻的差距，稱為相關的“應”。
由此形成一個天文常數系統。
在這個天文常數系統中，《授時曆》提出了七應。
這些應值的确定首先必須依賴有大量的天文觀測，有的還須經過複雜的計算，但郭守敬及其觀測班子的工作則是個基礎。
這七應是：（1）氣應。
這個數據的含義是，從作為曆元的那個冬至時刻與其一個甲子日夜半之間的時間距離。
郭守敬等人曆時三年多的對日影長度的觀測，共取得九十八組數據。
并進而推算出這三年中的冬至及夏至時刻，最後确定至元十八年的天正冬至為己未日六刻正。
用現代通行的單位說，那是在1280年12月14.06日。
按照現代理論的推算，郭守敬等人測定的這個冬至時刻十分精确。
（2）轉應。
曆元時刻與其前面一次月亮過近地點時刻之間的時間距離。
從所留數據得知，郭守敬測定的那次月過近地點時刻在1280年11月30.87日。
用現代理論檢驗，其誤差為0.15日。
這是曆代測定中最佳結果之一。
（3）閏應。
曆元與其前一次平朔之間的時間距離。
（4）交應。
曆元與在其前一次的月亮過黃白道降交點時刻之間的時間距離。
（5）周應。
曆元時刻太陽所在的赤道宿度位置與赤道虛宿六度之間的角度距離。
這是7個“應”中唯一不是時間量的“應”。
但因郭守敬等人把一個圓分成365.2575度，其數值和太陽（實即地球）的一個恒星年（相對任一顆恒星，太陽在天上繞行一周的時間）長度365.2575日完全相同。
故周應雖然是個角度的量，但卻完全可以當作時間量來運算。
郭守敬等測定，在曆元時刻太陽在赤道箕宿10度。
用現代理論檢驗，其誤差為0.22度。
在古代諸曆中準确度是比較高的。
（6）合應。
曆元與其前一次五大行星平合時刻之間的時間距離。
因為每顆行星的平合時刻各不相同，所以，合應實際上是5個數據。
（7）曆應。
曆元與其前一次的五星過近日點時刻之間的時間距離。
這實際上也是5個數據。
以上十五個數據中，除水星平合時刻和火星過近日點時刻這兩個數據的誤差較大外，其他都是中國古代曆法史上最精确的，或近于最佳的。
三、《授時曆》在《授時曆》創作中，郭守敬雖然有專業分工，他負責制器和測驗，但與整個創作中的其他部分以及總體工作，并非全然無關。
《授時曆》的編制是一件規模較大的集體工作。
工作中既有專人分工負責，也有重大問題的集體讨論。
《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列傳中記叙了改曆之事外，還在許衡、楊恭懿等人的列傳中也作了相當篇幅的叙述。
這些叙述中都透露出《授時曆》編撰工作的集體性。
按照當代科學史家錢寶琮的觀點，甚至可認為，早在劉秉忠、張文謙、張易等人同學的時代，他們就對曆法問題有過許多探讨①。
在估價集體工作的體制下郭守敬的作用時，應注意的是：一方面，郭守①錢寶琮：《授時曆法略論》，初刊于《天文學報》四卷二期，1956年12月。
收入中國科學院自然科學史研究所編的《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社1983年版，第352&mdash376頁。
敬所分工負責的任務一定會吸收别人的智慧和勞動。
例如，關于全天恒星星表的測定就不是哪一個人所能獨力完成的。
至于在測定七應的工作中，也離不開曆法的推算和對數據的處理。
另一方面，則應該肯定在整個曆法的創新和改革中，也凝結着郭守敬的貢獻和智慧。
在新曆頒行後不久主要骨幹王恂等因先後去世或辭歸②，唯剩下郭守敬繼續工作，一人整理了《授時曆》全部文稿。
因此郭守敬功不可沒。
這也就是後人把《授時曆》的成就都歸于郭守敬的重要原因。
《授時曆》除了在天文數據上的進步之外，在計算方法方面也有重大的創造和革新。
主要特點有：1.廢除上元積年這一點前面已述。
2.以萬分為日法古代的天文數據都以分數形式來表示。
例如，《四分曆》的回歸年長度為日，朔望月為日。
這中的就稱為日法。
西漢《太初曆》或《三統曆》取朔望月為日，回歸年則為日。
36514294999404294381365385153914這兩曆就稱81為日法。
後人為區别起見，又稱《四分曆》的4為歲日法，而《太初曆》的81則為朔日法。
後世各曆也都有自己的朔日法或歲日法。
唐代李淳風在《麟德曆》中曾發明回歸年和朔望月統一的日法，但其用分數表示的方式一直未變。
但這種分數方式難以立即比較數值的大小，在曆法計算中又需作繁雜的通分運算，很不方便，而且随着天文數據測定的進步，古人實際上已逐漸明白，無法用一個分數來完全準确地表達這個數據的值。
因此，從唐代開始就有人企圖打破分數表達法的老傳統。
南宮說于唐中宗神龍元年（705）編的《神龍曆》即以百進制為天文數據的基礎。
曹士于唐德宗建中年間（780&mdash783）編的《符天曆》更明确提出以萬分為日法。
但《神龍曆》未獲頒行。
《符天曆》隻行于民間，被官方天文學家貶稱為小曆。
到《授時曆》中始以宏大的革新精神，斷然采用以萬分為日法的制度，使天文數據的表達方式走上了簡潔合理的道路。
3.發明正确的處理三次差内插法方法自隋代劉焯以來，天文學家使用二次差内插法來計算日、月等各種非均速的天體運動。
但實際上唐代天文學家已發現，許多運動用二次差來計算是不夠精确的，必須用到三次差，但關于三次差内插公式卻一直沒有找到，隻能用一些近似公式來代替。
《授時曆》發明了稱之為招差法的方法，解決了這個三百多年未能解決的難題。
而且，招差法從原理上來說，可以推廣到任意高次差的内插法，這在數據處理和計算數學上是個很大的進步。
4.發明弧矢割圓術天文學上有所謂黃道坐标，赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系統。
現代天文學家運用球面三角學可以很容易地将一個坐标系統中的數據換算到另一個系統中去。
中國古代沒有球面三角學，古人是采用近似的代數計算方法來解決問題的。
《授時曆》采用的弧矢割圓術，将各種球面上的弧段投射到某個平面上，利用傳統的勾股公式，求解這些投影線段之間的關系。
再利用宋代沈括發明的會圓術公式，由線段反求出弧段長股關系的方法是完全準确的。
它們與現今的球面三角學公式在本質上是一緻的②王恂卒于至元十八年。
許衡于至元十七年告病辭歸，次年卒。
楊恭懿至元十八年辭歸後即不再返回朝廷。
張文謙于至元十九年拜樞密副使，次年病故。
張易于至元十九年受他人案件的株連而被處死，等等。
①。
以上這些計算方法上的成就，主要應當歸功于王恂，但是，其他學者也為此付出了勞動。
特别由于郭守敬是《授時曆》的最後整理定稿者，使這些突出的天文學、數學成就得彰後世，故其功不可沒。
水利工程上的成就郭守敬生平的第二項事業是水利。
其中最主要的有二項工程：修複西夏水利和開鑿通惠河。
1.修複西夏水利所謂西夏水利，是指西夏國首都興慶府（今甯夏回族自治區首府銀川市）一帶黃河兩岸的水利設施。
這一帶早在秦漢時起就陸續開鑿了許多河渠，引黃河水灌溉，由此構成一張水渠網，成為西北地區重要的糧倉。
但在元朝開國前，曆年征戰，嚴重毀壞了原有水利設施，使此地九萬多頃良田荒蕪，人民常年處于饑餓之中。
郭守敬的有關修複水利工作，主要據齊履謙的記述①。
郭守敬對原有的十二條正渠，六十八條大小支渠“因舊謀新，更立牐堰。
役不逾時，而渠皆通利”。
整修原有的渠道，使之煥然一新，原有已損毀的牐堰也修補更新。
總之，這項工程大抵是因舊整修，即令有新渠開挖、新牐堰的建立，也不會很多。
所以全部工程才能“役不逾時”，幹了不到一個季度，“渠皆通利”。
當然，這也是因為涉及千百萬人的生計大事，上、下均望其速成。
投入和工效一定都是極高的。
此事的成功對郭守敬來說，在于他有組織大型工程的才能，幹的是造福人民的大好事，因而人民才會在渠上給他立生祠。
2.通惠河的開挖元世祖把首都定在大都（今北京）。
為了供養大都臣民的生活，保證帝王、貴族們的享用，許多物資都要從南方運來，其中糧食每年需要從南方征運數百萬斤之巨。
在金代，就利用華北平原上的天然水道，與自隋唐以來陸續開挖修建的南方運河相連網，建立了一個水上運輸系統，從南方往金朝中都（今北京）運送糧食。
由于自然條件的限制，這個系統的終點不是在大都，而是在京東的通州。
通州距離金中都和後來的元大都還有好幾十裡路。
這一段路程就隻能依靠陸運。
而陸路運輸的成本很高，并且一到雨季，道路泥濘難行，牲口倒斃，糧車陷在泥中，運輸效率極低。
因此，自金朝起，人們就力圖開鑿一條從通州直達京城的運河，以解決運糧問題。
通州地勢低于大都。
開運河，隻能從大都引水流往通州，沿途築一系列牐壩，使南來的船逐級上駛。
這樣，就必須在大都城周圍尋找水源以保證運河的水量。
大都城郊有西北方的高粱河，西南方的涼水河，其水量都很小，不敷運河的用水。
大都城北幾十裡處，有清河和沙河，雖有一定水量，卻因地形自然流向東南，成為通向通州的溫榆河的上遊。
大都城西幾十裡的渾河（今稱永定河），水量在當時是相當大的。
金朝時曾從京西石景山北面的西①錢寶琮：《授時曆法略論》，文中專有一節讨論弧矢割圓法，見《天文學報》四卷二期，1956年12月；收入《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社1983年版。
①齊履謙：《知太史院事郭公行狀》，《元文類》卷五○。
麻峪村開了一條運河，經過中都注入通州城東的白河。
但因渾河中泥沙極多，運河很快淤積；加之夏、秋洪水季節，渾河水極其洶湧，極易泛濫，對運河兩岸造成威脅。
所以，開鑿了十五年之後又複把運河上遊的口子填塞了。
這個使命最終落到了郭守敬的身上。
而郭守敬也不是一舉成功的。
由于金朝開挖的運河，正流經大都城牆的南面。
以下往東到通州的一段完全可以利用，因此所需解決的隻是上遊的水源。
早在元世祖中統三年（1262）郭守敬初見忽必烈時所提的六項水利工程計劃中，第一項提的就是此事。
他計劃把清河的上源中，從玉泉山湧出後東流，經甕山（今萬壽山）南面的甕山泊（今昆明湖的前身）再向東的那一支流改道向南，注入高粱河，再進入運河。
這項計劃曾經實施。
但因隻是一泉之水，隻能用于增加大都城内湖池宮苑的用水量，對航運則無裨益。
三年以後，他從西夏回來，又提出了修運河的第二個方案。
這個方案是利用金人所開渾河的口子，隻是另在金人運河的上遊開一道分水河，引回渾河。
當河水暴漲，危及下遊時，就開放分水河閘口，解除對大都城的威脅。
同時考慮到渾河水攜來的泥沙問題，他撤去了運河上的閘壩，以使泥沙自然運走。
這種設想固然有其道理，但大都到通州運河段的水位下降梯度，雖比大都以上的運河段梯度較小，卻仍然是相當大的，沒有閘壩控制，巨大的糧船就無法逆流而上。
因此，這個方案在至元十三年（1276）實施完成以後，隻對運河兩岸的農田灌溉及放送西山砍伐木料的作業有所幫助。
此後郭守敬總結了兩個方案失敗的教訓，并在大都周圍仔細地勘測水文和地形起伏情況。
隻是由于他又被調去修曆，才把此事擱下了。
至元二十八年（1291），有人建議利用灤河和渾河溯流而上，作為向上都運糧的渠道。
元世祖不能決斷。
派太史令郭守敬去實地勘查。
郭守敬探測到中途，就已發現這些建議不切實際。
他乘着報告調查結果的機會，提出了許多新建議。
其中第一個就是他已籌劃多年的大都運河新方案。
這個方案利用他第一次方案中鑿成的把甕山泊流出的一支清河上源引向南面高粱河的河道。
為了進一步擴充水源，又把昌平縣神山（今稱鳳凰山）腳下的白浮泉水引入甕山泊。
此後，河水并不徑直南下，而是反向西引到西山腳下，再沿西山往南，沿途攔截所有原來從西山向東流入沙河、清河的泉水，使彙成流量可觀的水渠，再經高粱河進入流向通州的運河。
因為這些都是清泉水源，泥沙很少，運河下遊可以無顧慮地建立船閘，使糧船平穩上駛。
元世祖對這一方案極為重視，下令重設都水監，命郭守敬兼管都水監事，并調動幾萬軍民，于至元二十九年春天動工。
開工之日忽必烈命丞相以下官員一律到工地勞動，聽郭守敬指揮。
此舉雖然隻是個象征，但卻反映了元皇朝對這條運河的重視程度和郭守敬在水利方面的權威。
整個工程隻用了一年半時間，全長一百六十多華裡的運河連同全部閘壩工程就完成了。
這條運河被命名為通惠河。
而自昌平到甕山泊的一段又特稱白浮堰。
從此以後，南來的船舶可直駛到大都城中，作為船舶終點碼頭的積水潭上登時桅樯如林，熱鬧非凡。
通惠河不但解決了運糧問題，而且促進了南貨北銷，繁榮了大都城的經濟。
通惠河工程從技術上來說最突出的是白浮堰線路的選擇。
白浮泉的發源地海拔約六十米，高出大都城地勢最高的西北角約十米。
但因兩者之間隔有沙河和清河兩條河谷地帶，它們的地勢都在五十米以下，甚至還不到四十五米。
因此，如從白浮泉直線南下，則泉水勢必沿河谷東流而下，進不了運河。
如果用架渡槽的辦法，則也隻能引白浮一泉之水，起不了多大作用，卻費工甚巨。
而郭守敬所選的線路，雖然迂回，卻保持了河道較小的水位落差梯度，且可攔截沿途所經的諸多水源，使流入運河中的水能有較大的水量。
因為從神山到大都城的直線距離有六十多華裡（三十多公裡），在這麼長的路程上地形有幾米的起伏那是很微小的。
從這裡可以看出，郭守敬的地形測量技術實在是很高超的。
當代許多地理學家考察了白浮堰線路之後，對郭守敬的成就無不交口贊譽。
光輝業績郭守敬的畢生事業和主要成就雖在天文和水利兩個方面，但他卻是位多才多藝的科學家，在許多領域都有他的創造性的貢獻。
他曾提出，以海平面作為基準，比較大都和汴梁（今河南省開封市）兩地地形高下之差，這是地理學上的一個重要概念&mdash海拔的創始。
他在西夏水利工程結束後曾溯黃河之流而上，探尋黃河的發源地。
由此他成為以科學考察本身為目的，專程探求黃河河源的先驅者。
他的探查結果沒有記載流傳下來。
傳世的第一部河源考察成果專著為都實所撰《河源記》，此是至元十七年（1280）都實奉忽必烈之命專程考察河源的紀實。
先前郭守敬的考察對都實肯定有相當的影響。
他在簡儀中使用了滾柱軸承，以使簡儀南端的動赤道環可以靈活地在定赤道環之上運轉。
西方的類似裝置是在二百年後才由意大利科學家達·芬奇發明的。
他所創作的大明殿燈漏是第一架與天文儀器相分離的獨立的計時器，在中國鐘表發展史上具有重要的意義。
他在景符、仰儀等儀器中反複運用了針孔成象原理。
這在中國光學史上也是比較突出的成就。
這樣一位有多方面傑出成就的科學家，身後自然會得到後人的贊揚和敬仰。
新中國建立後，人們對他更隆重紀念。
1959年開館的中國曆史博物館，在門廳中陳列了他發明的簡儀，元代展品中設立有他的胸像和事迹介紹。
八十年代初，在他的家鄉建立了郭守敬紀念館。
在北京積水潭上的彙通祠中也陳列有關事迹和開挖通惠河的介紹。
1962年，郵電部就發行繪有郭守敬像和簡儀的紀念郵票共二枚①。
1970年，國際天文學聯合會以郭守敬的名字命名月球背面的一座環形山，其位置為134°W，8°N。
1977年，中國科學院紫金山天文台把小行星2012号正式命名為郭守敬星。
中國天文學會受國際天文學聯合會的委托，在八十年代舉辦過幾屆有關天文學前沿的世界性講習班，這些講習班也是以郭守敬的名字命名的。
①《中國古代科學家》（第二組共8枚），編号紀92，1962年12月1日發行。
郭守敬像為第7枚，簡儀為第8枚。
在中國古代，這些歸算的目标和方法都比較特殊。
實際上是推算出一個理想的曆元，這個曆元是各種天文周期的共同起點。
因此，這個理想的曆元一定離開現實生活的時代十分遙遠。
古人稱之為上元。
随着天文觀測的進步，各種天文周期的數值測定得越來越精确，這個上元離開現實③孫小淳《〈三垣列舍入宿去極集〉提要》，《中國科技典籍通彙·天文學卷》，河南教育出版社1995年版。
①潘鼐、向英：《郭守敬》，第三章第（三）節，第79&mdash86頁。
②現代曆書天文學關于黃赤交角&epsilon值的計算公式是由美國天文學家紐康（SimonNewcomb）于1901年提出的，公式為：&epsilon＝23°27＇08&Prime.26&mdash46&Prime.845T－0&Prime.00591T2＋0&Prime.00181T3式中T是從1900年起算的儒略世紀數（1儒略世紀＝36525日），往過去為負。
也越來越遠。
例如，金代趙知微的《重修大明曆》中的上元，離他的編曆年份竟有8863萬餘年。
如此巨大的數字要在曆法編算中使用，對古人來說是件極其費力的事。
因此，到郭守敬時代，王恂等人就決定斷然廢除上元。
他們改用至元十八年（1281）天正冬至（即至元十八年開始之前的那個冬至時刻，實際上在至元十七年内）為其主要起算點。
其他各種天文周期的曆元，均推算出與該冬至時刻的差距，稱為相關的“應”。
由此形成一個天文常數系統。
在這個天文常數系統中，《授時曆》提出了七應。
這些應值的确定首先必須依賴有大量的天文觀測，有的還須經過複雜的計算，但郭守敬及其觀測班子的工作則是個基礎。
這七應是：（1）氣應。
這個數據的含義是，從作為曆元的那個冬至時刻與其一個甲子日夜半之間的時間距離。
郭守敬等人曆時三年多的對日影長度的觀測，共取得九十八組數據。
并進而推算出這三年中的冬至及夏至時刻，最後确定至元十八年的天正冬至為己未日六刻正。
用現代通行的單位說，那是在1280年12月14.06日。
按照現代理論的推算，郭守敬等人測定的這個冬至時刻十分精确。
（2）轉應。
曆元時刻與其前面一次月亮過近地點時刻之間的時間距離。
從所留數據得知，郭守敬測定的那次月過近地點時刻在1280年11月30.87日。
用現代理論檢驗，其誤差為0.15日。
這是曆代測定中最佳結果之一。
（3）閏應。
曆元與其前一次平朔之間的時間距離。
（4）交應。
曆元與在其前一次的月亮過黃白道降交點時刻之間的時間距離。
（5）周應。
曆元時刻太陽所在的赤道宿度位置與赤道虛宿六度之間的角度距離。
這是7個“應”中唯一不是時間量的“應”。
但因郭守敬等人把一個圓分成365.2575度，其數值和太陽（實即地球）的一個恒星年（相對任一顆恒星，太陽在天上繞行一周的時間）長度365.2575日完全相同。
故周應雖然是個角度的量，但卻完全可以當作時間量來運算。
郭守敬等測定，在曆元時刻太陽在赤道箕宿10度。
用現代理論檢驗，其誤差為0.22度。
在古代諸曆中準确度是比較高的。
（6）合應。
曆元與其前一次五大行星平合時刻之間的時間距離。
因為每顆行星的平合時刻各不相同，所以，合應實際上是5個數據。
（7）曆應。
曆元與其前一次的五星過近日點時刻之間的時間距離。
這實際上也是5個數據。
以上十五個數據中，除水星平合時刻和火星過近日點時刻這兩個數據的誤差較大外，其他都是中國古代曆法史上最精确的，或近于最佳的。
三、《授時曆》在《授時曆》創作中，郭守敬雖然有專業分工，他負責制器和測驗，但與整個創作中的其他部分以及總體工作，并非全然無關。
《授時曆》的編制是一件規模較大的集體工作。
工作中既有專人分工負責，也有重大問題的集體讨論。
《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列傳中記叙了改曆之事外，還在許衡、楊恭懿等人的列傳中也作了相當篇幅的叙述。
這些叙述中都透露出《授時曆》編撰工作的集體性。
按照當代科學史家錢寶琮的觀點，甚至可認為，早在劉秉忠、張文謙、張易等人同學的時代，他們就對曆法問題有過許多探讨①。
在估價集體工作的體制下郭守敬的作用時，應注意的是：一方面，郭守①錢寶琮：《授時曆法略論》，初刊于《天文學報》四卷二期，1956年12月。
收入中國科學院自然科學史研究所編的《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社1983年版，第352&mdash376頁。
敬所分工負責的任務一定會吸收别人的智慧和勞動。
例如，關于全天恒星星表的測定就不是哪一個人所能獨力完成的。
至于在測定七應的工作中，也離不開曆法的推算和對數據的處理。
另一方面，則應該肯定在整個曆法的創新和改革中，也凝結着郭守敬的貢獻和智慧。
在新曆頒行後不久主要骨幹王恂等因先後去世或辭歸②，唯剩下郭守敬繼續工作，一人整理了《授時曆》全部文稿。
因此郭守敬功不可沒。
這也就是後人把《授時曆》的成就都歸于郭守敬的重要原因。
《授時曆》除了在天文數據上的進步之外，在計算方法方面也有重大的創造和革新。
主要特點有：1.廢除上元積年這一點前面已述。
2.以萬分為日法古代的天文數據都以分數形式來表示。
例如，《四分曆》的回歸年長度為日，朔望月為日。
這中的就稱為日法。
西漢《太初曆》或《三統曆》取朔望月為日，回歸年則為日。
36514294999404294381365385153914這兩曆就稱81為日法。
後人為區别起見，又稱《四分曆》的4為歲日法，而《太初曆》的81則為朔日法。
後世各曆也都有自己的朔日法或歲日法。
唐代李淳風在《麟德曆》中曾發明回歸年和朔望月統一的日法，但其用分數表示的方式一直未變。
但這種分數方式難以立即比較數值的大小，在曆法計算中又需作繁雜的通分運算，很不方便，而且随着天文數據測定的進步，古人實際上已逐漸明白，無法用一個分數來完全準确地表達這個數據的值。
因此，從唐代開始就有人企圖打破分數表達法的老傳統。
南宮說于唐中宗神龍元年（705）編的《神龍曆》即以百進制為天文數據的基礎。
曹士于唐德宗建中年間（780&mdash783）編的《符天曆》更明确提出以萬分為日法。
但《神龍曆》未獲頒行。
《符天曆》隻行于民間，被官方天文學家貶稱為小曆。
到《授時曆》中始以宏大的革新精神，斷然采用以萬分為日法的制度，使天文數據的表達方式走上了簡潔合理的道路。
3.發明正确的處理三次差内插法方法自隋代劉焯以來，天文學家使用二次差内插法來計算日、月等各種非均速的天體運動。
但實際上唐代天文學家已發現，許多運動用二次差來計算是不夠精确的，必須用到三次差，但關于三次差内插公式卻一直沒有找到，隻能用一些近似公式來代替。
《授時曆》發明了稱之為招差法的方法，解決了這個三百多年未能解決的難題。
而且，招差法從原理上來說，可以推廣到任意高次差的内插法，這在數據處理和計算數學上是個很大的進步。
4.發明弧矢割圓術天文學上有所謂黃道坐标，赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系統。
現代天文學家運用球面三角學可以很容易地将一個坐标系統中的數據換算到另一個系統中去。
中國古代沒有球面三角學，古人是采用近似的代數計算方法來解決問題的。
《授時曆》采用的弧矢割圓術，将各種球面上的弧段投射到某個平面上，利用傳統的勾股公式，求解這些投影線段之間的關系。
再利用宋代沈括發明的會圓術公式，由線段反求出弧段長股關系的方法是完全準确的。
它們與現今的球面三角學公式在本質上是一緻的②王恂卒于至元十八年。
許衡于至元十七年告病辭歸，次年卒。
楊恭懿至元十八年辭歸後即不再返回朝廷。
張文謙于至元十九年拜樞密副使，次年病故。
張易于至元十九年受他人案件的株連而被處死，等等。
①。
以上這些計算方法上的成就，主要應當歸功于王恂，但是，其他學者也為此付出了勞動。
特别由于郭守敬是《授時曆》的最後整理定稿者，使這些突出的天文學、數學成就得彰後世，故其功不可沒。
水利工程上的成就郭守敬生平的第二項事業是水利。
其中最主要的有二項工程：修複西夏水利和開鑿通惠河。
1.修複西夏水利所謂西夏水利，是指西夏國首都興慶府（今甯夏回族自治區首府銀川市）一帶黃河兩岸的水利設施。
這一帶早在秦漢時起就陸續開鑿了許多河渠，引黃河水灌溉，由此構成一張水渠網，成為西北地區重要的糧倉。
但在元朝開國前，曆年征戰，嚴重毀壞了原有水利設施，使此地九萬多頃良田荒蕪，人民常年處于饑餓之中。
郭守敬的有關修複水利工作，主要據齊履謙的記述①。
郭守敬對原有的十二條正渠，六十八條大小支渠“因舊謀新，更立牐堰。
役不逾時，而渠皆通利”。
整修原有的渠道，使之煥然一新，原有已損毀的牐堰也修補更新。
總之，這項工程大抵是因舊整修，即令有新渠開挖、新牐堰的建立，也不會很多。
所以全部工程才能“役不逾時”，幹了不到一個季度，“渠皆通利”。
當然，這也是因為涉及千百萬人的生計大事，上、下均望其速成。
投入和工效一定都是極高的。
此事的成功對郭守敬來說，在于他有組織大型工程的才能，幹的是造福人民的大好事，因而人民才會在渠上給他立生祠。
2.通惠河的開挖元世祖把首都定在大都（今北京）。
為了供養大都臣民的生活，保證帝王、貴族們的享用，許多物資都要從南方運來，其中糧食每年需要從南方征運數百萬斤之巨。
在金代，就利用華北平原上的天然水道，與自隋唐以來陸續開挖修建的南方運河相連網，建立了一個水上運輸系統，從南方往金朝中都（今北京）運送糧食。
由于自然條件的限制，這個系統的終點不是在大都，而是在京東的通州。
通州距離金中都和後來的元大都還有好幾十裡路。
這一段路程就隻能依靠陸運。
而陸路運輸的成本很高，并且一到雨季，道路泥濘難行，牲口倒斃，糧車陷在泥中，運輸效率極低。
因此，自金朝起，人們就力圖開鑿一條從通州直達京城的運河，以解決運糧問題。
通州地勢低于大都。
開運河，隻能從大都引水流往通州，沿途築一系列牐壩，使南來的船逐級上駛。
這樣，就必須在大都城周圍尋找水源以保證運河的水量。
大都城郊有西北方的高粱河，西南方的涼水河，其水量都很小，不敷運河的用水。
大都城北幾十裡處，有清河和沙河，雖有一定水量，卻因地形自然流向東南，成為通向通州的溫榆河的上遊。
大都城西幾十裡的渾河（今稱永定河），水量在當時是相當大的。
金朝時曾從京西石景山北面的西①錢寶琮：《授時曆法略論》，文中專有一節讨論弧矢割圓法，見《天文學報》四卷二期，1956年12月；收入《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社1983年版。
①齊履謙：《知太史院事郭公行狀》，《元文類》卷五○。
麻峪村開了一條運河，經過中都注入通州城東的白河。
但因渾河中泥沙極多，運河很快淤積；加之夏、秋洪水季節，渾河水極其洶湧，極易泛濫，對運河兩岸造成威脅。
所以，開鑿了十五年之後又複把運河上遊的口子填塞了。
這個使命最終落到了郭守敬的身上。
而郭守敬也不是一舉成功的。
由于金朝開挖的運河，正流經大都城牆的南面。
以下往東到通州的一段完全可以利用，因此所需解決的隻是上遊的水源。
早在元世祖中統三年（1262）郭守敬初見忽必烈時所提的六項水利工程計劃中，第一項提的就是此事。
他計劃把清河的上源中，從玉泉山湧出後東流，經甕山（今萬壽山）南面的甕山泊（今昆明湖的前身）再向東的那一支流改道向南，注入高粱河，再進入運河。
這項計劃曾經實施。
但因隻是一泉之水，隻能用于增加大都城内湖池宮苑的用水量，對航運則無裨益。
三年以後，他從西夏回來，又提出了修運河的第二個方案。
這個方案是利用金人所開渾河的口子，隻是另在金人運河的上遊開一道分水河，引回渾河。
當河水暴漲，危及下遊時，就開放分水河閘口，解除對大都城的威脅。
同時考慮到渾河水攜來的泥沙問題，他撤去了運河上的閘壩，以使泥沙自然運走。
這種設想固然有其道理，但大都到通州運河段的水位下降梯度，雖比大都以上的運河段梯度較小，卻仍然是相當大的，沒有閘壩控制，巨大的糧船就無法逆流而上。
因此，這個方案在至元十三年（1276）實施完成以後，隻對運河兩岸的農田灌溉及放送西山砍伐木料的作業有所幫助。
此後郭守敬總結了兩個方案失敗的教訓，并在大都周圍仔細地勘測水文和地形起伏情況。
隻是由于他又被調去修曆，才把此事擱下了。
至元二十八年（1291），有人建議利用灤河和渾河溯流而上，作為向上都運糧的渠道。
元世祖不能決斷。
派太史令郭守敬去實地勘查。
郭守敬探測到中途，就已發現這些建議不切實際。
他乘着報告調查結果的機會，提出了許多新建議。
其中第一個就是他已籌劃多年的大都運河新方案。
這個方案利用他第一次方案中鑿成的把甕山泊流出的一支清河上源引向南面高粱河的河道。
為了進一步擴充水源，又把昌平縣神山（今稱鳳凰山）腳下的白浮泉水引入甕山泊。
此後，河水并不徑直南下，而是反向西引到西山腳下，再沿西山往南，沿途攔截所有原來從西山向東流入沙河、清河的泉水，使彙成流量可觀的水渠，再經高粱河進入流向通州的運河。
因為這些都是清泉水源，泥沙很少，運河下遊可以無顧慮地建立船閘，使糧船平穩上駛。
元世祖對這一方案極為重視，下令重設都水監，命郭守敬兼管都水監事，并調動幾萬軍民，于至元二十九年春天動工。
開工之日忽必烈命丞相以下官員一律到工地勞動，聽郭守敬指揮。
此舉雖然隻是個象征，但卻反映了元皇朝對這條運河的重視程度和郭守敬在水利方面的權威。
整個工程隻用了一年半時間，全長一百六十多華裡的運河連同全部閘壩工程就完成了。
這條運河被命名為通惠河。
而自昌平到甕山泊的一段又特稱白浮堰。
從此以後，南來的船舶可直駛到大都城中，作為船舶終點碼頭的積水潭上登時桅樯如林，熱鬧非凡。
通惠河不但解決了運糧問題，而且促進了南貨北銷，繁榮了大都城的經濟。
通惠河工程從技術上來說最突出的是白浮堰線路的選擇。
白浮泉的發源地海拔約六十米，高出大都城地勢最高的西北角約十米。
但因兩者之間隔有沙河和清河兩條河谷地帶，它們的地勢都在五十米以下，甚至還不到四十五米。
因此，如從白浮泉直線南下，則泉水勢必沿河谷東流而下，進不了運河。
如果用架渡槽的辦法，則也隻能引白浮一泉之水，起不了多大作用，卻費工甚巨。
而郭守敬所選的線路，雖然迂回，卻保持了河道較小的水位落差梯度，且可攔截沿途所經的諸多水源，使流入運河中的水能有較大的水量。
因為從神山到大都城的直線距離有六十多華裡（三十多公裡），在這麼長的路程上地形有幾米的起伏那是很微小的。
從這裡可以看出，郭守敬的地形測量技術實在是很高超的。
當代許多地理學家考察了白浮堰線路之後，對郭守敬的成就無不交口贊譽。
光輝業績郭守敬的畢生事業和主要成就雖在天文和水利兩個方面，但他卻是位多才多藝的科學家，在許多領域都有他的創造性的貢獻。
他曾提出，以海平面作為基準，比較大都和汴梁（今河南省開封市）兩地地形高下之差，這是地理學上的一個重要概念&mdash海拔的創始。
他在西夏水利工程結束後曾溯黃河之流而上，探尋黃河的發源地。
由此他成為以科學考察本身為目的，專程探求黃河河源的先驅者。
他的探查結果沒有記載流傳下來。
傳世的第一部河源考察成果專著為都實所撰《河源記》，此是至元十七年（1280）都實奉忽必烈之命專程考察河源的紀實。
先前郭守敬的考察對都實肯定有相當的影響。
他在簡儀中使用了滾柱軸承，以使簡儀南端的動赤道環可以靈活地在定赤道環之上運轉。
西方的類似裝置是在二百年後才由意大利科學家達·芬奇發明的。
他所創作的大明殿燈漏是第一架與天文儀器相分離的獨立的計時器，在中國鐘表發展史上具有重要的意義。
他在景符、仰儀等儀器中反複運用了針孔成象原理。
這在中國光學史上也是比較突出的成就。
這樣一位有多方面傑出成就的科學家，身後自然會得到後人的贊揚和敬仰。
新中國建立後，人們對他更隆重紀念。
1959年開館的中國曆史博物館，在門廳中陳列了他發明的簡儀，元代展品中設立有他的胸像和事迹介紹。
八十年代初，在他的家鄉建立了郭守敬紀念館。
在北京積水潭上的彙通祠中也陳列有關事迹和開挖通惠河的介紹。
1962年，郵電部就發行繪有郭守敬像和簡儀的紀念郵票共二枚①。
1970年，國際天文學聯合會以郭守敬的名字命名月球背面的一座環形山，其位置為134°W，8°N。
1977年，中國科學院紫金山天文台把小行星2012号正式命名為郭守敬星。
中國天文學會受國際天文學聯合會的委托，在八十年代舉辦過幾屆有關天文學前沿的世界性講習班，這些講習班也是以郭守敬的名字命名的。
①《中國古代科學家》（第二組共8枚），編号紀92，1962年12月1日發行。
郭守敬像為第7枚，簡儀為第8枚。