3. 逼真性
關燈
小
中
大
),
如我們已經看到的那樣,這是我們體系中可得到的最大真内容;因為Ct(contrad)=1,所以我們得到Ct(a&larraT)=Ct(contrad&larrt)=1-p(contrad&nu-t)=p(t)。
現在,雖然CtT(contrad)=Ct(t)完全無可非議&mdash&mdash它顯然是CtT(a)的一個令人滿意的定義的推論,也顯然是一切東西,因而包括t都從一個自相矛盾的陳述推出這一事實的推論&mdash&mdash但是,CtF(contrad)=p(t)的情形卻并非如此;因為,這在大多數情況下會使得一個矛盾的假内容少于它的真内容,而我們本來期望一個矛盾的假内容至少等于它的真内容。
舉個例子,設我們的論域是擲骰子;設t是&ldquo3面朝上”設p(t)為1/6。
對CtF(a)=Ct(a&larraT)所提出的(但這裡是被拒斥了的)定義在現在的論域裡将導緻這樣的結果:一個矛盾陳述(像&ldquo6将面朝上并且不朝上&rdquo)的假内容CtF(contrad)将等于1/6,而它的真内容CtT(contrad)将等于5/6。
可見,一個矛盾陳述的真内容将大大超過假内容,而這顯然是違反直觀的。
正因為這樣,所以才要采用我們需要的定理(iv);這個定理導緻 CtT(a)+CtF(a)>Ct(a) 的情形。
從這一切可以看到,我們所需要的定理(iv)可由下面兩條高度直觀的定理代替: (iv,a) CtF(contrad)=常數, (iv,b) CtF(contrad)&geCtT(contrad)。
附帶指出,事實上我們每每得到 (21) CtF(a)-Ct(a&larraT)=CtF(a)CtT(a), 這看來有點令人驚訝。
但是,它隻是下面更為一般的公式的一個直接推論: (22) p(a&larrb)-p(a,b)=Ct(a,b)Ct(b), 這個公式我在好多年前就得出了,為的是要表明,一個條件陳述&ldquoa,如果b&rdquo(或者陳述&ldquo如果b,那麼a&rdquo)的絕對概率通常超過某個陳述a(對于另一個給定陳述b)的相對概率。
(因此,可以說,公式(22)把朝向左邊的箭頭&ldquo&larr&rdquo和逗号&ldquo,&rdquo進行了比較,并計算了條件概率對于相對概率的永恒非負的超出量: Exc(a,b)=p(a&larrb)-p(a,b)。
) 定義了真内容和假内容的度量之後,我們現在可以來定義VS(a)即a的似真度了。
就我們僅對相對值感興趣而言,我們能夠用 CtT(a)-CtF(a)=p(a,aT)-p(aT) 作為定義者。
如果我們對數值感興趣,那麼最好用一個正規化因子去乘它,并且用(p(a,aT)-p(aT))/(p(a,aT)+p(aT))作為定義者。
因為,我們希望下面的所需要定理得到滿足。
因此,我們得到 (v) -1=VS(contrad)&leVS(a)&le+1; (vi)在一個Ct(t)可以成為1的無限域中,VS(t)應該也能成為1。
這裡應該指出,Ct(t)=1-p(t)将取決于我們論域的選擇。
甚至在一個潛在無限的論域裡,它也可能小于1,就如下述例子所表明的那樣:設我們的論域包含互斥可能的一個可數無限集a1,a2,&hellip&hellip,并設p(a1)=1/2,p(a2)=1/4,p(a3)=1/8,p(an)=1/2n;此外,再設這些可能性中隻有一個得到實現:t=a1;那麼,Ct(t)=1/2。
因此,為了作數值計算,最好是用一個正規化的形式去代替p(a,aT)-p(aT);我們選取正規化因子1/(p(a,aT)+p(aT));就是說,如上所述,我們定義: (23)VS(a)=(p(a,aT)-p(aT))/(p(a,aT)+p(aT))。
我們現在得到: (24)如果a&isinT,那麼VS(a)=CtT(a)/(1+p(aT))=Ct(a)/(1+p(a)), (25) VS(tautol)=0, 和 (26) VS(contrad)=-1。
還存在其他各種可能的定義。
例如,我們可以引入其他正規化因子,如CtT(a)、Ct(a)或者CtT(a)+CtF(a)。
我認為,這些不會導緻VS(a)的恰當定義,倒是會導緻像&ldquo真值度&rdquo這類觀念的定義。
現在,雖然CtT(contrad)=Ct(t)完全無可非議&mdash&mdash它顯然是CtT(a)的一個令人滿意的定義的推論,也顯然是一切東西,因而包括t都從一個自相矛盾的陳述推出這一事實的推論&mdash&mdash但是,CtF(contrad)=p(t)的情形卻并非如此;因為,這在大多數情況下會使得一個矛盾的假内容少于它的真内容,而我們本來期望一個矛盾的假内容至少等于它的真内容。
舉個例子,設我們的論域是擲骰子;設t是&ldquo3面朝上”設p(t)為1/6。
對CtF(a)=Ct(a&larraT)所提出的(但這裡是被拒斥了的)定義在現在的論域裡将導緻這樣的結果:一個矛盾陳述(像&ldquo6将面朝上并且不朝上&rdquo)的假内容CtF(contrad)将等于1/6,而它的真内容CtT(contrad)将等于5/6。
可見,一個矛盾陳述的真内容将大大超過假内容,而這顯然是違反直觀的。
正因為這樣,所以才要采用我們需要的定理(iv);這個定理導緻 CtT(a)+CtF(a)>Ct(a) 的情形。
從這一切可以看到,我們所需要的定理(iv)可由下面兩條高度直觀的定理代替: (iv,a) CtF(contrad)=常數, (iv,b) CtF(contrad)&geCtT(contrad)。
附帶指出,事實上我們每每得到 (21) CtF(a)-Ct(a&larraT)=CtF(a)CtT(a), 這看來有點令人驚訝。
但是,它隻是下面更為一般的公式的一個直接推論: (22) p(a&larrb)-p(a,b)=Ct(a,b)Ct(b), 這個公式我在好多年前就得出了,為的是要表明,一個條件陳述&ldquoa,如果b&rdquo(或者陳述&ldquo如果b,那麼a&rdquo)的絕對概率通常超過某個陳述a(對于另一個給定陳述b)的相對概率。
(因此,可以說,公式(22)把朝向左邊的箭頭&ldquo&larr&rdquo和逗号&ldquo,&rdquo進行了比較,并計算了條件概率對于相對概率的永恒非負的超出量: Exc(a,b)=p(a&larrb)-p(a,b)。
) 定義了真内容和假内容的度量之後,我們現在可以來定義VS(a)即a的似真度了。
就我們僅對相對值感興趣而言,我們能夠用 CtT(a)-CtF(a)=p(a,aT)-p(aT) 作為定義者。
如果我們對數值感興趣,那麼最好用一個正規化因子去乘它,并且用(p(a,aT)-p(aT))/(p(a,aT)+p(aT))作為定義者。
因為,我們希望下面的所需要定理得到滿足。
因此,我們得到 (v) -1=VS(contrad)&leVS(a)&le+1; (vi)在一個Ct(t)可以成為1的無限域中,VS(t)應該也能成為1。
這裡應該指出,Ct(t)=1-p(t)将取決于我們論域的選擇。
甚至在一個潛在無限的論域裡,它也可能小于1,就如下述例子所表明的那樣:設我們的論域包含互斥可能的一個可數無限集a1,a2,&hellip&hellip,并設p(a1)=1/2,p(a2)=1/4,p(a3)=1/8,p(an)=1/2n;此外,再設這些可能性中隻有一個得到實現:t=a1;那麼,Ct(t)=1/2。
因此,為了作數值計算,最好是用一個正規化的形式去代替p(a,aT)-p(aT);我們選取正規化因子1/(p(a,aT)+p(aT));就是說,如上所述,我們定義: (23)VS(a)=(p(a,aT)-p(aT))/(p(a,aT)+p(aT))。
我們現在得到: (24)如果a&isinT,那麼VS(a)=CtT(a)/(1+p(aT))=Ct(a)/(1+p(a)), (25) VS(tautol)=0, 和 (26) VS(contrad)=-1。
還存在其他各種可能的定義。
例如,我們可以引入其他正規化因子,如CtT(a)、Ct(a)或者CtT(a)+CtF(a)。
我認為,這些不會導緻VS(a)的恰當定義,倒是會導緻像&ldquo真值度&rdquo這類觀念的定義。