31．一個“有限”而又“無界”的宇宙的可能性
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這個行星的太陽系僅占球面宇宙内的小到微不足道的一部分，那麼這些球面生物就無法确定它們居住的宇宙是有限的還是無限的，因為它們所能接近的&ldquo一小塊宇宙&rdquo在這兩種情況下實際上都是平面的；或者說是歐幾裡得的。
從這個讨論可以直接推知，對于我們的球面生物而言，＝個圓的圓周起先随着半徑的增大而增大，直到達到&ldquo宇宙圓周&rdquo為止，其後圓周随着半徑的值的進一步增大而逐漸減小以至于零，在這個過程中，圓的面積繼續不斷地增大，直到最後等于整個&ldquo世界球&rdquo的總面積為止。
或許讀者會感到奇怪，為什麼我們把我們的&ldquo生物&rdquo放在一個球面上而不放在另外一種閉合曲面上。
但是由于以下事實，這種選擇是有理由的，在所有的閉合曲面中，唯有球面具有這種性質；即該曲面上所有的點都是等效的，我承認，一個圓的圓周（與其半徑礦的比取決于人但是，對于一個給定的的值而言；這個比對于&ldquo世界球&rdquo上所有的點都是一樣的；換言之，這個&ldquo世界球&rdquo是一個&ldquo等曲率曲面&rdquo。
對于這個二維球面宇宙，我們有一個三維比拟，這就是黎曼發現的三維球面空間。
它的點同樣也都是等效的。
這個球面空間具有一個有限的體積，由其&ldquo半徑&rdquo确定之（２&pi２Ｒ３），能否設想一個球面空間呢？設想一個空間隻不過是意味着我們設想我們的&ldquo空間&rdquo經驗的一個模型，這種&ldquo空間&rdquo經驗是我們在移動&ldquo剛&rdquo體時能夠體會到的。
在這個意義上我們能夠設想一個球面空音。
設我們從一點向所有各個方向畫線或拉繩索，并用一根量杆在每根線或繩索上量取距離ｒ。
這些具有長度ｒ的線或繩索的所有的自由端點都位于一個球面上。
我們能夠借助于一個用量杆構成的正方形用特别方法把這個曲面的面積（Ｆ）測量出來，如果這個宇宙是歐幾裡得宇宙，則；如果這個宇宙是球面宇宙，那麼Ｆ就總是小于４&piｒ２。
随着ｒ的值的增大，Ｆ從零增大到一個最大值，這個最大值是由&ldquo世界半徑&rdquo來确定的，但随着ｒ的值的進一步增大，這個面積就會逐漸縮小以至于零。
起初，從始點輻射出去的直線彼此散開而且相距越來越遠，但後來又相互趨近，最後它們終于在與始點相對立的&ldquo對立點&rdquo上再次相會。
在這種情況下它們穿越了整個球面空間。
不難看出，這個三維球面空間與二維球面十分相似。
這個球面空間是有限的（亦即體積是有限的），同時又是無界的。
可以提一下，還有另一種彎曲空間：&ldquo橢圓空間&rdquo。
可以把&ldquo橢圓空間&rdquo看作這樣的彎曲空間，即在這個空間中兩個&ldquo對立點&rdquo是等樣的（不可辨别的）．因此，在某種程度上可以把橢圓宇宙當作一個具有中心對稱的彎曲宇宙。
由以上所述可以推知，無界的閉合空間是可以想象的。
在這類空間中，球面空間（以及橢圓空間）在其簡單性方面勝過其他空間，因為其上所有的點都是等效的。
由于這個讨論的結果，對天文學家和物理學家提出了一個非常有趣的問題：我們居住的宇宙是無限的，抑或象球口宇宙那樣是有限的呢？我們的經驗遠遠不足以使我們能夠回答這個問題，但是廣義相對論使我們能夠以一定程度的确實性回答應個問題；這樣，第３０節所提到的困難就得到了解決。
從這個讨論可以直接推知，對于我們的球面生物而言，＝個圓的圓周起先随着半徑的增大而增大，直到達到&ldquo宇宙圓周&rdquo為止，其後圓周随着半徑的值的進一步增大而逐漸減小以至于零，在這個過程中，圓的面積繼續不斷地增大，直到最後等于整個&ldquo世界球&rdquo的總面積為止。
或許讀者會感到奇怪，為什麼我們把我們的&ldquo生物&rdquo放在一個球面上而不放在另外一種閉合曲面上。
但是由于以下事實，這種選擇是有理由的，在所有的閉合曲面中，唯有球面具有這種性質；即該曲面上所有的點都是等效的，我承認，一個圓的圓周（與其半徑礦的比取決于人但是，對于一個給定的的值而言；這個比對于&ldquo世界球&rdquo上所有的點都是一樣的；換言之，這個&ldquo世界球&rdquo是一個&ldquo等曲率曲面&rdquo。
對于這個二維球面宇宙，我們有一個三維比拟，這就是黎曼發現的三維球面空間。
它的點同樣也都是等效的。
這個球面空間具有一個有限的體積，由其&ldquo半徑&rdquo确定之（２&pi２Ｒ３），能否設想一個球面空間呢？設想一個空間隻不過是意味着我們設想我們的&ldquo空間&rdquo經驗的一個模型，這種&ldquo空間&rdquo經驗是我們在移動&ldquo剛&rdquo體時能夠體會到的。
在這個意義上我們能夠設想一個球面空音。
設我們從一點向所有各個方向畫線或拉繩索，并用一根量杆在每根線或繩索上量取距離ｒ。
這些具有長度ｒ的線或繩索的所有的自由端點都位于一個球面上。
我們能夠借助于一個用量杆構成的正方形用特别方法把這個曲面的面積（Ｆ）測量出來，如果這個宇宙是歐幾裡得宇宙，則；如果這個宇宙是球面宇宙，那麼Ｆ就總是小于４&piｒ２。
随着ｒ的值的增大，Ｆ從零增大到一個最大值，這個最大值是由&ldquo世界半徑&rdquo來确定的，但随着ｒ的值的進一步增大，這個面積就會逐漸縮小以至于零。
起初，從始點輻射出去的直線彼此散開而且相距越來越遠，但後來又相互趨近，最後它們終于在與始點相對立的&ldquo對立點&rdquo上再次相會。
在這種情況下它們穿越了整個球面空間。
不難看出，這個三維球面空間與二維球面十分相似。
這個球面空間是有限的（亦即體積是有限的），同時又是無界的。
可以提一下，還有另一種彎曲空間：&ldquo橢圓空間&rdquo。
可以把&ldquo橢圓空間&rdquo看作這樣的彎曲空間，即在這個空間中兩個&ldquo對立點&rdquo是等樣的（不可辨别的）．因此，在某種程度上可以把橢圓宇宙當作一個具有中心對稱的彎曲宇宙。
由以上所述可以推知，無界的閉合空間是可以想象的。
在這類空間中，球面空間（以及橢圓空間）在其簡單性方面勝過其他空間，因為其上所有的點都是等效的。
由于這個讨論的結果，對天文學家和物理學家提出了一個非常有趣的問題：我們居住的宇宙是無限的，抑或象球口宇宙那樣是有限的呢？我們的經驗遠遠不足以使我們能夠回答這個問題，但是廣義相對論使我們能夠以一定程度的确實性回答應個問題；這樣，第３０節所提到的困難就得到了解決。