11．洛倫茲變換
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上面最後三節的結果表明，光的傳播定律與相對性原理的表面抵觸（第７節）是根據這樣一種考慮推導出來的，這種考慮從經典力學借用了兩個不确當的假設；這兩個假設就是：
（１）兩事件的時間間隔（時間）與參考物體的運動狀況無關。
（２）一剛體上兩點的空間間隔（距離）與參考物體的運動。
如果我們舍棄這兩個假設，第７節中的兩難局面就會消失，因為第６節所導出的速度相加定理就失效了，看來真空中光的傳播定律與相對性原理是可以相容的，因此就産生這樣的問題：我們必須如何修改第６節的論述以便消除這兩個基本經驗結果之間的表面矛盾，這個問題導緻了一個普遍性問題。在第６節的讨論中，我們既要相對于火車又要相對于路基來談地點和時間，如果我們已知一事件相對于鐵路路基的地點和時間，如何求出該事件相對于火車的地點和時間呢？對于這個問題能否想出能使真空中光的傳播定律與相對性原理不相抵觸的解答，換言之：我們能否設想，在各個事件相對于一個參考物體的地點和時間與各該事件相對于另一個參考物體的地點和時間之間存在着這樣一種關系，使得每一條光線無論相對于路基還是相對于火車，它的傳播速度都是ｃ呢？這個問題獲得了一個十分明确的肯定解答，并且導緻了用來把一個事件的空一時量值從一個參考物體變換到另一個參考物體的一個十分明确的變換定律。
在我們讨論這一點之前，我們将先提出需要附帶考慮的下列問題。到目前為止，我們僅考慮了沿着路基發生的事件，這個路基在數學上必須假定它起一條直線的作用。如第２節所述，我們可以設想這個參考物體在橫向和豎向各予補充一個用杆構成的框架，以便參照這個框架确定任何一處發生的事件的空間位置。同樣，我們可以設想火車以速度&rdquo繼續不斷地橫亘整個空間行駛着，這樣，無論一事件有多遠，我們也都能參照另一個框架來确定其空間位置。我們盡可不必考慮這兩套框架實際上會不會因固體的不可入性而不斷地相互幹擾的問題；這樣做不緻于造成任何根本性的錯誤，我們可以設想，在每一個這樣的框架中，劃出三個互相垂直的面，稱之為&ldquo坐标平面&rdquo（在整體上這些坐标平面共同構成一個&ldquo坐标系&rdquo）。于是，坐标系Ｋ對應于路基，坐标系Ｋ&rsquo對應于火車。一事件無論在何處發生，它在空間中相對于Ｋ的位置可以由坐标平面上的三條垂線ｘ，ｙ，ｚ來确定，時間則由一時間量值：來确定，相對于Ｋ&rsquo，此同一事件的空間位置和時間将由相應的量值ｘ&rsquo，ｙ&rsquo，ｚ&rsquo，ｔ&rsquo來确定，這些量值與ｘ，ｙ，ｚ，ｔ當然并不是全等的。關于如何将這些量值看作為物理測量的結果，上面己作了詳細的叙述。
顯然我們面臨的問題可以精确地表述如下，若一事件相對于Ｋ的ｘ，ｙ，ｚ，ｔ諸量值為何？在選定關系式時，無論是相對于Ｋ或是相對于Ｋ&rsquo，對于同一條光線而言（當然對于每一條光線都必須如此）真空中光的傳播定律必須被滿足。若這兩個坐标系在空間中的相對取向如圖２所示，這個問題就可以由下列議程組解出：
這個議程組稱為&ldquo洛倫茲變換&rdquo。
如果我們不根據光的傳播定律，而根據舊力學中所隐含的時間和長度具有絕對性的假定，那麼我們所得到的就不會是上述方程組，而是如下的方程組：
ｘ&rsquo＝ｘ－ｖｔ；
ｙ&rsquo＝ｙ；
ｚ&rsquo＝ｚ；
ｔ&rsquo＝ｔ。
這個方程組稱為&ldquo伽利略變換&rdquo，在洛倫茲變換方程中，我們如以無窮大值代換光速ｃ，就可以得到伽利略變換方程。
通過下述例示，我們可以很容易地看到，按照洛倫茲變換，無論對于參考物體Ｋ還是對于參考物體Ｋ&rsquo，真空中光的傳播定律都是被滿足的。例如沿着正ｘ軸發出一個光信号，這個光刺激按照下列方程前進：
ｘ＝ｃｔ。
亦即以速度ｃ前進。按照洛倫茲變換方程，ｘ和ｔ之間有了這個簡單的關系，則在ｘ&rsquo和ｔ&rsquo之間當然也存在着一個相應的關系，事實也正是如此：把ｘ的值ｃｔ代入洛倫茲變換的第一個和第四個方程中，我們就得到：
這兩方程相除，即直接得出下式：
ｘ&rsquo＝ｃｔ&rsquo
亦即參照坐标系Ｋ&rsquo，光的傳播應當按照此方程式進行，由此我們看到，光相對于參考物體Ｋ&rsquo的傳播速度同樣也是等于ｃ。對于沿着任何其他方向傳播的光線我們也得到同樣的結果。當然，這一點是不足為廳的，因為洛倫茲變換議程就是依據這個觀點推導出來的。
（１）兩事件的時間間隔（時間）與參考物體的運動狀況無關。
（２）一剛體上兩點的空間間隔（距離）與參考物體的運動。
如果我們舍棄這兩個假設，第７節中的兩難局面就會消失，因為第６節所導出的速度相加定理就失效了，看來真空中光的傳播定律與相對性原理是可以相容的，因此就産生這樣的問題：我們必須如何修改第６節的論述以便消除這兩個基本經驗結果之間的表面矛盾，這個問題導緻了一個普遍性問題。在第６節的讨論中，我們既要相對于火車又要相對于路基來談地點和時間，如果我們已知一事件相對于鐵路路基的地點和時間，如何求出該事件相對于火車的地點和時間呢？對于這個問題能否想出能使真空中光的傳播定律與相對性原理不相抵觸的解答，換言之：我們能否設想，在各個事件相對于一個參考物體的地點和時間與各該事件相對于另一個參考物體的地點和時間之間存在着這樣一種關系，使得每一條光線無論相對于路基還是相對于火車，它的傳播速度都是ｃ呢？這個問題獲得了一個十分明确的肯定解答，并且導緻了用來把一個事件的空一時量值從一個參考物體變換到另一個參考物體的一個十分明确的變換定律。
在我們讨論這一點之前，我們将先提出需要附帶考慮的下列問題。到目前為止，我們僅考慮了沿着路基發生的事件，這個路基在數學上必須假定它起一條直線的作用。如第２節所述，我們可以設想這個參考物體在橫向和豎向各予補充一個用杆構成的框架，以便參照這個框架确定任何一處發生的事件的空間位置。同樣，我們可以設想火車以速度&rdquo繼續不斷地橫亘整個空間行駛着，這樣，無論一事件有多遠，我們也都能參照另一個框架來确定其空間位置。我們盡可不必考慮這兩套框架實際上會不會因固體的不可入性而不斷地相互幹擾的問題；這樣做不緻于造成任何根本性的錯誤，我們可以設想，在每一個這樣的框架中，劃出三個互相垂直的面，稱之為&ldquo坐标平面&rdquo（在整體上這些坐标平面共同構成一個&ldquo坐标系&rdquo）。于是，坐标系Ｋ對應于路基，坐标系Ｋ&rsquo對應于火車。一事件無論在何處發生，它在空間中相對于Ｋ的位置可以由坐标平面上的三條垂線ｘ，ｙ，ｚ來确定，時間則由一時間量值：來确定，相對于Ｋ&rsquo，此同一事件的空間位置和時間将由相應的量值ｘ&rsquo，ｙ&rsquo，ｚ&rsquo，ｔ&rsquo來确定，這些量值與ｘ，ｙ，ｚ，ｔ當然并不是全等的。關于如何将這些量值看作為物理測量的結果，上面己作了詳細的叙述。
顯然我們面臨的問題可以精确地表述如下，若一事件相對于Ｋ的ｘ，ｙ，ｚ，ｔ諸量值為何？在選定關系式時，無論是相對于Ｋ或是相對于Ｋ&rsquo，對于同一條光線而言（當然對于每一條光線都必須如此）真空中光的傳播定律必須被滿足。若這兩個坐标系在空間中的相對取向如圖２所示，這個問題就可以由下列議程組解出：
這個議程組稱為&ldquo洛倫茲變換&rdquo。
如果我們不根據光的傳播定律，而根據舊力學中所隐含的時間和長度具有絕對性的假定，那麼我們所得到的就不會是上述方程組，而是如下的方程組：
ｘ&rsquo＝ｘ－ｖｔ；
ｙ&rsquo＝ｙ；
ｚ&rsquo＝ｚ；
ｔ&rsquo＝ｔ。
這個方程組稱為&ldquo伽利略變換&rdquo，在洛倫茲變換方程中，我們如以無窮大值代換光速ｃ，就可以得到伽利略變換方程。
通過下述例示，我們可以很容易地看到，按照洛倫茲變換，無論對于參考物體Ｋ還是對于參考物體Ｋ&rsquo，真空中光的傳播定律都是被滿足的。例如沿着正ｘ軸發出一個光信号，這個光刺激按照下列方程前進：
ｘ＝ｃｔ。
亦即以速度ｃ前進。按照洛倫茲變換方程，ｘ和ｔ之間有了這個簡單的關系，則在ｘ&rsquo和ｔ&rsquo之間當然也存在着一個相應的關系，事實也正是如此：把ｘ的值ｃｔ代入洛倫茲變換的第一個和第四個方程中，我們就得到：
這兩方程相除，即直接得出下式：
ｘ&rsquo＝ｃｔ&rsquo
亦即參照坐标系Ｋ&rsquo，光的傳播應當按照此方程式進行，由此我們看到，光相對于參考物體Ｋ&rsquo的傳播速度同樣也是等于ｃ。對于沿着任何其他方向傳播的光線我們也得到同樣的結果。當然，這一點是不足為廳的，因為洛倫茲變換議程就是依據這個觀點推導出來的。