24．歐幾裡得和非歐幾裡得連續區域
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一張大理石桌擺在我的面前，眼前展開了巨大的桌面。在這個桌面上，我可以這樣地從任何一點到達任何其他一點，即連續地從一點移動到&ldquo鄰近的&rdquo一點，井重複這個過程若幹（許多）次，換言之，亦即無需從一點&ldquo跳躍&rdquo到另一點，我想讀者一定會足夠清楚地了解我這裡所說的&ldquo鄰近的&rdquo和&ldquo跳躍&rdquo是什麼意思（如果他不過于咬文嚼字的話）．我們把桌面描述為一個連續區來表示桌面的上述性質。
我們設想已經做好了許多長度相等的小杆，它們的長度同這塊大理石闆的大小相比是相當短的。我說它們的長度相等的意思是，把其中之一與任何其他一個适合起來，它們的兩端都能彼此重合，其次我們取四根小杆放在石闆上，構成一個四邊形（正方形），這個四邊形的對角線的長度是相等的，為了保證對角線相等，我們另外用了一根小測杆。我們把幾個同樣的正方形加到這個正方形上，加上的正方形每一個都有一根杆是與第一個正方形共用的。我們對于這些正方形的每一個都采取同樣的做法，直到最後整塊石闆都鋪滿了正方形為止。這個排列是這樣的，一個正方形的每一邊都隸屬于兩個正方形，每一個隅角都隸屬于四個正方形。
如果我們能夠把這項工作做好而沒有遇到極大的困難，那隻要三個正方形相會于一隅角，那麼第四個正方形的兩個邊就已經擺出；因此，這個正方形下餘兩邊的排列位置也就已經完全确定下來，但是這個時候我就不能再調整這個四邊形使它的兩根對角線相等了．如果這兩根對角線出于它們的自願而相等，那麼這是石闆和小杆的特别恩賜，對此我隻能懷着感激的心情而驚奇不己。如果這個作同法能夠成功的話：那麼這種令人驚奇的事情我們必然會經驗到許多次。
如果凡事都進行得真正順利，那麼我就說石闆上的諸點對于小杆而言構成一個歐幾裡得連續區域，這裡小杆曾當作&ldquo距離&rdquo（線間隔）使用。選取一個正方形的一個隅角作為&ldquo原點&rdquo我就能夠用兩個數來表示任一正方形的任一隅角相對于這個原點的位置。我隻須說明，我從原點出發，向&ldquo右&rdquo走然後向&ldquo上&rdquo走，必須經過多少根杆子才能到達所考慮的正方形的隅角。這兩個數就是這個隅角相對于由排列小杆而确定的&ldquo笛卡兒坐标系&rdquo的&ldquo笛卡兒坐标&rdquo。
如果将這個抽象的實驗作如下改變，我們就會認識到一定會出現這種實驗下能成功的情況。我們假定這些杆于是會：&ldquo膨脹&rdquo的，膨脹的量值與溫度升高的量值成正比。我們将石闆的中心部分加熱，但周圍不加熱，在這個情況下，我們仍然能夠使兩根小杆在桌面上的每一個位置上相互重合。但是在加熱期間我們的正方形作圖就必然會受到擾亂，因為放在桌面中心部分的小杆膨脹了，而放在外圍部分的小杆則不膨脹。
對于我們的小杆&mdash&mdash定義為單位長度&mdash&mdash而言，這塊石闆不再是一個歐幾裡得連續區，而且我們也不再能夠直接借助于這些小杆來定義笛卡兒坐标，困為上述的作圖法已無法實現了。但是由于有一些其他的事物并不象這些小杆那樣受桌子溫度的影響（或許絲毫不受影響），因而我們有可能十分自然地支持這樣的觀點，即這塊石闆仍是一個&ldquo歐幾裡得連續區&rdquo，為此我們必須對長度的量度或比較作一更為巧妙的約定，才能夠滿意地實現這個歐幾裡得連續區。
但是如果把各種杆子（亦即用各種材料做成的杆子）放在加熱不均勻的石闆上時它們對溫度的反應都一樣，并且如果除了杆子在與上述實驗相類似的實驗中的幾何得為之外沒有其他的方法來探測溫度的疚，那麼最好的辦法就是：隻要我們能夠使杆子中一根的兩端與石闆上的兩點相重合，我們就規定該兩點之間的距離為１；因為，如果不這樣做，我們又應該如何來下距離的定義才不緻在極大的程度上犯粗略任意的錯誤呢？這樣我們就必須舍棄笛卡兒坐标的方法，而代之以不承認歐幾裡得幾何學對剛體的有效性的另一種方法。讀者将會注意到，這裡所描述的局面與廣義相對性公設所引起的局面（第２３節）是一緻的。
我們設想已經做好了許多長度相等的小杆，它們的長度同這塊大理石闆的大小相比是相當短的。我說它們的長度相等的意思是，把其中之一與任何其他一個适合起來，它們的兩端都能彼此重合，其次我們取四根小杆放在石闆上，構成一個四邊形（正方形），這個四邊形的對角線的長度是相等的，為了保證對角線相等，我們另外用了一根小測杆。我們把幾個同樣的正方形加到這個正方形上，加上的正方形每一個都有一根杆是與第一個正方形共用的。我們對于這些正方形的每一個都采取同樣的做法，直到最後整塊石闆都鋪滿了正方形為止。這個排列是這樣的，一個正方形的每一邊都隸屬于兩個正方形，每一個隅角都隸屬于四個正方形。
如果我們能夠把這項工作做好而沒有遇到極大的困難，那隻要三個正方形相會于一隅角，那麼第四個正方形的兩個邊就已經擺出；因此，這個正方形下餘兩邊的排列位置也就已經完全确定下來，但是這個時候我就不能再調整這個四邊形使它的兩根對角線相等了．如果這兩根對角線出于它們的自願而相等，那麼這是石闆和小杆的特别恩賜，對此我隻能懷着感激的心情而驚奇不己。如果這個作同法能夠成功的話：那麼這種令人驚奇的事情我們必然會經驗到許多次。
如果凡事都進行得真正順利，那麼我就說石闆上的諸點對于小杆而言構成一個歐幾裡得連續區域，這裡小杆曾當作&ldquo距離&rdquo（線間隔）使用。選取一個正方形的一個隅角作為&ldquo原點&rdquo我就能夠用兩個數來表示任一正方形的任一隅角相對于這個原點的位置。我隻須說明，我從原點出發，向&ldquo右&rdquo走然後向&ldquo上&rdquo走，必須經過多少根杆子才能到達所考慮的正方形的隅角。這兩個數就是這個隅角相對于由排列小杆而确定的&ldquo笛卡兒坐标系&rdquo的&ldquo笛卡兒坐标&rdquo。
如果将這個抽象的實驗作如下改變，我們就會認識到一定會出現這種實驗下能成功的情況。我們假定這些杆于是會：&ldquo膨脹&rdquo的，膨脹的量值與溫度升高的量值成正比。我們将石闆的中心部分加熱，但周圍不加熱，在這個情況下，我們仍然能夠使兩根小杆在桌面上的每一個位置上相互重合。但是在加熱期間我們的正方形作圖就必然會受到擾亂，因為放在桌面中心部分的小杆膨脹了，而放在外圍部分的小杆則不膨脹。
對于我們的小杆&mdash&mdash定義為單位長度&mdash&mdash而言，這塊石闆不再是一個歐幾裡得連續區，而且我們也不再能夠直接借助于這些小杆來定義笛卡兒坐标，困為上述的作圖法已無法實現了。但是由于有一些其他的事物并不象這些小杆那樣受桌子溫度的影響（或許絲毫不受影響），因而我們有可能十分自然地支持這樣的觀點，即這塊石闆仍是一個&ldquo歐幾裡得連續區&rdquo，為此我們必須對長度的量度或比較作一更為巧妙的約定，才能夠滿意地實現這個歐幾裡得連續區。
但是如果把各種杆子（亦即用各種材料做成的杆子）放在加熱不均勻的石闆上時它們對溫度的反應都一樣，并且如果除了杆子在與上述實驗相類似的實驗中的幾何得為之外沒有其他的方法來探測溫度的疚，那麼最好的辦法就是：隻要我們能夠使杆子中一根的兩端與石闆上的兩點相重合，我們就規定該兩點之間的距離為１；因為，如果不這樣做，我們又應該如何來下距離的定義才不緻在極大的程度上犯粗略任意的錯誤呢？這樣我們就必須舍棄笛卡兒坐标的方法，而代之以不承認歐幾裡得幾何學對剛體的有效性的另一種方法。讀者将會注意到，這裡所描述的局面與廣義相對性公設所引起的局面（第２３節）是一緻的。