第二十四章 希臘早期的數學與天文學
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我在本章裡要讨論的是數學，并不是由于數學本身的緣故，而是因為它與希臘哲學有關系——有着一種（尤其是在柏拉圖的思想裡）非常密切的關系。
希臘人的卓越性表現在數學和天文學方面的，要比在任何别的東西上面更為明顯。
希臘人在藝術、文學和哲學方面的成就，其是好是壞可以依據個人的口味來評判；但是他們在幾何學上的成就卻是無可疑問的。
他們從埃及得到了一些東西，從巴比倫那裡得到的則很少；而且他們從這些來源所獲得的東西，在數學方面主要地是粗糙的經驗，在天文學方面則是為期非常悠久的觀察記錄。
數學的證明方法，則幾乎是完全起源于希臘。
有許多非常有趣的故事——或許并沒有曆史真實性——可以表明，是哪些實際問題刺激了數學的研究。
最早的最簡單的故事是關于泰勒斯的，傳說他在埃及的時候國王曾要他求出一個金字塔的高度。
他等到太陽照出來他自己影子的長度與他的身高相等的時候，就去測量金字塔的影子；這個影子當然就等于金字塔的高度。
據說透視定律最初是幾何學家阿加塔庫斯為了給伊斯奇魯斯的戲劇畫布景而加以研究的。
傳說是被泰勒斯所研究過的求一隻船在海上的距離的問題，在很早的階段就已經很正确地解決了。
希臘幾何學所關心的大問題之一，即把一個立方體增加一倍的問題，據說是起源于某處神殿裡的祭司們；神谕告訴他們說，神要的一座雕象比他們原有的那座大一倍。
最初他們隻是想到把原象的尺寸增加一倍，但是後來他們才認識到結果就要比原象大八倍，這比神所要求的要更費錢得多。
于是他們就派遣一個使者去見柏拉圖，請教他的學園裡有沒有人能解決這個問題。
幾何學家們接受了這個問題，鑽研了許多世紀，并且附帶地産生出了許多可驚可歎的成果。
這個問題當然也就是求2的立方根的問題。
2的平方根是第一個有待發現的無理數，這一無理數是早期的畢達哥拉斯派就已經知道了的，并且還發現過種種巧妙的方法來求它的近似值。
最好的方法如下：假設有兩列數字，我們稱之為a列和b列；每一列都從1開始，每下一步的a都是由已經得到的最後的a和b相加而成；下一個b則是由兩倍的前一個a再加上前一個b而構成。
這樣所得到的最初6對數目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。
在每一對數目裡，2a－b都是1或者是－1.于是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越發地與之接近。
例如，讀者們将會滿意地發見，9970的平方是非常之接近于與2相等的。
普洛克魯斯描述過畢達哥拉斯——此人永遠是個頗為蒙胧的人物——乃是第一個把幾何學當作一種學藝的人。
許多權威學者，包括湯姆斯·希斯①爵士在内，都相信華達哥拉斯或許曾發見過那個以他的名字命名的定理；那個定理是說在一個直角三角形中，弦的平方等于兩夾邊的平方之和。
無論如何，這個定理是在很早的時期就被畢達哥拉斯派所知道了的。
他們也知道三角形的内角之和等于兩個直角。
①見所著《希臘的數學》，卷一，第145頁。
除了2的平方根之外，其他的無理數在特殊的例子裡也曾被與蘇格拉底同時代的狄奧多羅斯研究過，并且曾以更為普遍的方式被與柏拉圖大緻同時而稍早的泰阿泰德研究過。
德谟克裡特寫過一篇關于無理數的論文，但是文章的内容我們已不大知道了。
柏拉圖對這個題目是深感興趣的；他在以“泰阿泰德”命名的那篇對話裡提過了狄奧多羅斯和泰阿泰德的作品。
在《法律篇》中，他說過一般人對這個題目的愚昧無知是很不光彩的，并且還暗示着他自己之開始知道它也是很晚的事情。
它當然對于畢達哥拉斯派的哲學有着重要的關系。
發見了無理數的最重要的後果之一就是攸多克索（約當公元前408—355年）之發明關于比例的幾何理論。
在他以前，隻有關于比例的算數理論。
按照這種理論，如果a乘d等于b乘c，則a比b就等于c比d.這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就隻能應用于有理數。
然而攸多克索提出了一個不受這種限制的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。
這一理論在歐幾裡德的書裡得到了發展，并具有極大的邏輯美。
攸多克索還發明了或者是完成了“窮盡法”，它後來被阿幾米德運用得非常成功。
這種方法是對積分學的一種預見。
譬如，我們可以舉圓的面積問題為例。
你可以内接于一個圓而作出一個正六邊形，或一個正十二邊形，或者一個正一千邊或一百萬邊的多邊形。
這樣一個多邊形，無論它有多少邊，其面積是與圓的直徑的平方成比例的。
這個多邊形的邊越多，則它也就越接近于與圓相等。
你可以證明，隻要你能使這一多邊形有足夠多的邊，就可以使它的面積與圓面積之差小于任何預先指定的面積，無論這一預先指定的面積是多麼地小。
為了這個目的，就引用了“阿幾米德公理”。
這一公理（多少加以
希臘人的卓越性表現在數學和天文學方面的，要比在任何别的東西上面更為明顯。
希臘人在藝術、文學和哲學方面的成就，其是好是壞可以依據個人的口味來評判；但是他們在幾何學上的成就卻是無可疑問的。
他們從埃及得到了一些東西，從巴比倫那裡得到的則很少；而且他們從這些來源所獲得的東西，在數學方面主要地是粗糙的經驗，在天文學方面則是為期非常悠久的觀察記錄。
數學的證明方法，則幾乎是完全起源于希臘。
有許多非常有趣的故事——或許并沒有曆史真實性——可以表明，是哪些實際問題刺激了數學的研究。
最早的最簡單的故事是關于泰勒斯的，傳說他在埃及的時候國王曾要他求出一個金字塔的高度。
他等到太陽照出來他自己影子的長度與他的身高相等的時候，就去測量金字塔的影子；這個影子當然就等于金字塔的高度。
據說透視定律最初是幾何學家阿加塔庫斯為了給伊斯奇魯斯的戲劇畫布景而加以研究的。
傳說是被泰勒斯所研究過的求一隻船在海上的距離的問題，在很早的階段就已經很正确地解決了。
希臘幾何學所關心的大問題之一，即把一個立方體增加一倍的問題，據說是起源于某處神殿裡的祭司們；神谕告訴他們說，神要的一座雕象比他們原有的那座大一倍。
最初他們隻是想到把原象的尺寸增加一倍，但是後來他們才認識到結果就要比原象大八倍，這比神所要求的要更費錢得多。
于是他們就派遣一個使者去見柏拉圖，請教他的學園裡有沒有人能解決這個問題。
幾何學家們接受了這個問題，鑽研了許多世紀，并且附帶地産生出了許多可驚可歎的成果。
這個問題當然也就是求2的立方根的問題。
2的平方根是第一個有待發現的無理數，這一無理數是早期的畢達哥拉斯派就已經知道了的，并且還發現過種種巧妙的方法來求它的近似值。
最好的方法如下：假設有兩列數字，我們稱之為a列和b列；每一列都從1開始，每下一步的a都是由已經得到的最後的a和b相加而成；下一個b則是由兩倍的前一個a再加上前一個b而構成。
這樣所得到的最初6對數目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。
在每一對數目裡，2a－b都是1或者是－1.于是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越發地與之接近。
例如，讀者們将會滿意地發見，9970的平方是非常之接近于與2相等的。
普洛克魯斯描述過畢達哥拉斯——此人永遠是個頗為蒙胧的人物——乃是第一個把幾何學當作一種學藝的人。
許多權威學者，包括湯姆斯·希斯①爵士在内，都相信華達哥拉斯或許曾發見過那個以他的名字命名的定理；那個定理是說在一個直角三角形中，弦的平方等于兩夾邊的平方之和。
無論如何，這個定理是在很早的時期就被畢達哥拉斯派所知道了的。
他們也知道三角形的内角之和等于兩個直角。
①見所著《希臘的數學》，卷一，第145頁。
除了2的平方根之外，其他的無理數在特殊的例子裡也曾被與蘇格拉底同時代的狄奧多羅斯研究過，并且曾以更為普遍的方式被與柏拉圖大緻同時而稍早的泰阿泰德研究過。
德谟克裡特寫過一篇關于無理數的論文，但是文章的内容我們已不大知道了。
柏拉圖對這個題目是深感興趣的；他在以“泰阿泰德”命名的那篇對話裡提過了狄奧多羅斯和泰阿泰德的作品。
在《法律篇》中，他說過一般人對這個題目的愚昧無知是很不光彩的，并且還暗示着他自己之開始知道它也是很晚的事情。
它當然對于畢達哥拉斯派的哲學有着重要的關系。
發見了無理數的最重要的後果之一就是攸多克索（約當公元前408—355年）之發明關于比例的幾何理論。
在他以前，隻有關于比例的算數理論。
按照這種理論，如果a乘d等于b乘c，則a比b就等于c比d.這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就隻能應用于有理數。
然而攸多克索提出了一個不受這種限制的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。
這一理論在歐幾裡德的書裡得到了發展，并具有極大的邏輯美。
攸多克索還發明了或者是完成了“窮盡法”，它後來被阿幾米德運用得非常成功。
這種方法是對積分學的一種預見。
譬如，我們可以舉圓的面積問題為例。
你可以内接于一個圓而作出一個正六邊形，或一個正十二邊形，或者一個正一千邊或一百萬邊的多邊形。
這樣一個多邊形，無論它有多少邊，其面積是與圓的直徑的平方成比例的。
這個多邊形的邊越多，則它也就越接近于與圓相等。
你可以證明，隻要你能使這一多邊形有足夠多的邊，就可以使它的面積與圓面積之差小于任何預先指定的面積，無論這一預先指定的面積是多麼地小。
為了這個目的，就引用了“阿幾米德公理”。
這一公理（多少加以