第三章 畢達哥拉斯
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＝2n，因此n＝2p，而因此n便是偶數，與假設相反。
所以就沒有mn的分數可以約盡弦。
以上的證明，實質上就是歐幾裡德第十編中的證明①。
①但是這并非歐幾裡德所發現的，見希斯：《希臘的數學》。
以上的證明或許柏拉圖是知道的。
這種論證就證明了無論我們采取什麼樣的長度單位，總會有些長度對于那個單位不能具有确切的數目關系；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等于n倍的單位。
這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。
柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成于歐幾裡德。
歐幾裡德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如（a＋b）＝a＋2ab＋b。
正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。
他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。
整個體系在邏輯上是醒目的，并且已經預示着十九世紀數學家們的嚴謹了。
隻要關于不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾裡德的方法便是幾何學中最好的可能方法。
當笛卡兒介紹了坐标幾何學從而再度确定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。
幾何學對于哲學與科學方法的影響一直是深遠的。
希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。
公理和定理被認為對于實際空間是真确的，而實際空間又是經驗中所有的東西。
這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。
這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。
“獨立宣言”①說：“我們認為這些真理是自明的”，其本身便脫胎于歐幾裡德。
十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾裡德式的公理②。
牛頓的《原理》一書，盡管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾裡德所支配着的。
嚴格的經院形式的神學，其體裁也出于同一個來源。
個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。
①這裡指的是美國的“獨立宣言”——中譯本編者 ②佛蘭克林用“自明的”代替了傑弗遜的“神聖的與不可否認的”。
我相信，數學是我們信仰永恒的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。
幾何學讨論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多麼小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。
這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理隻能應用于與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證說，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。
神秘主義關于時間與永恒的關系的學說，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恒的而不在時間之内。
這種永恒的對象就可以被想象成為上帝的思想。
因此，柏拉圖的學說是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。
與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配着的。
數學與神學的結合開始于畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特征。
畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似于亞洲的神秘教。
但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有着一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對于不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，并使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直接了當的神秘主義區别開來。
隻是到了最近的時期，人們才可能明确地說出畢達哥拉斯錯在哪裡。
我不知道還有什麼别人對于思想界有過象他那麼大的影響。
我所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。
有一個隻能顯示于理智而不能顯示于感官的永恒世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裡得來的。
如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證明。
但是在他的身上，這一切還都不顯著。
下面就要談到這一切是怎樣變得顯著的。
所以就沒有mn的分數可以約盡弦。
以上的證明，實質上就是歐幾裡德第十編中的證明①。
①但是這并非歐幾裡德所發現的，見希斯：《希臘的數學》。
以上的證明或許柏拉圖是知道的。
這種論證就證明了無論我們采取什麼樣的長度單位，總會有些長度對于那個單位不能具有确切的數目關系；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等于n倍的單位。
這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。
柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成于歐幾裡德。
歐幾裡德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如（a＋b）＝a＋2ab＋b。
正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。
他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。
整個體系在邏輯上是醒目的，并且已經預示着十九世紀數學家們的嚴謹了。
隻要關于不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾裡德的方法便是幾何學中最好的可能方法。
當笛卡兒介紹了坐标幾何學從而再度确定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。
幾何學對于哲學與科學方法的影響一直是深遠的。
希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。
公理和定理被認為對于實際空間是真确的，而實際空間又是經驗中所有的東西。
這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。
這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。
“獨立宣言”①說：“我們認為這些真理是自明的”，其本身便脫胎于歐幾裡德。
十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾裡德式的公理②。
牛頓的《原理》一書，盡管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾裡德所支配着的。
嚴格的經院形式的神學，其體裁也出于同一個來源。
個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。
①這裡指的是美國的“獨立宣言”——中譯本編者 ②佛蘭克林用“自明的”代替了傑弗遜的“神聖的與不可否認的”。
我相信，數學是我們信仰永恒的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。
幾何學讨論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多麼小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。
這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理隻能應用于與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證說，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。
神秘主義關于時間與永恒的關系的學說，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恒的而不在時間之内。
這種永恒的對象就可以被想象成為上帝的思想。
因此，柏拉圖的學說是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。
與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配着的。
數學與神學的結合開始于畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特征。
畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似于亞洲的神秘教。
但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有着一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對于不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，并使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直接了當的神秘主義區别開來。
隻是到了最近的時期，人們才可能明确地說出畢達哥拉斯錯在哪裡。
我不知道還有什麼别人對于思想界有過象他那麼大的影響。
我所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。
有一個隻能顯示于理智而不能顯示于感官的永恒世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裡得來的。
如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證明。
但是在他的身上，這一切還都不顯著。
下面就要談到這一切是怎樣變得顯著的。