志第九 曆三
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▲大統曆法一下法原
日月五星平定三差
太陽盈縮平立定三差之原。
冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。
離為六段，每段各得一十四日八十二刻。
就整。
各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。
積日積差 第一段一十四日八二七千零五十八分零二五 第二段二十九日六四一萬二千九百七十六三九二 第三段四十四日四六一萬七千六百九十三七四六二 第四段五十九日二八二萬一千一百四十八七三二八 第五段七十四日一零二萬三千二百七十九九九七 第六段八十八日九二二萬四千零二十六一八四 各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。
置各段日平差，與後段日平差相減，為一差。
置一差，與後段一差相減，為二差。
日平差一差二差 第一段四百七十六分二五三十八分四五一分三八 第二段四百三十七分八零三十九分八三一分三八 第三段三百九十七分九七四十一分二一一分三八 第四段三百五十六分七六四十一分五九一分三八 第五段三百一十四分一七四十三分九七 第六段二百七十零分二零 置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為凡平積。
以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差十八分四十五秒，餘三十七分零七秒，不凡平積差。
另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為凡立積差。
以凡平積差三十七分零七秒，加入凡平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為定差。
以凡立積差六十九秒，去減凡平積差三十七分零七秒，餘三十六分三十八秒為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。
置凡立積差六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。
夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，就整。
離為六段，每段各得一十五日六十二刻。
就整。
各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。
積日積差 第一段一十五日六二七千零五十八分九九零四 第二段三十一日二四一萬二千九百七十八六五八 第三段四十六日八六一萬七千六百九十六六七九 第四段六十二日四八二萬萬一千一百五十零七二九六 第五段七十八日一零二萬三千二百七十八四八六 第六段九十三日七二二萬四千零百一十七六二四四 推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。
日平差一差二差 第一段四百五十一分九二三十六分四七一分三三 第二段四百一十五分四五三十七分八零一分三三 第三段三百七十七分六五三十九分一二一分三三 第四段三百三十八分五二四十零分四六一分三三 第五段二百九十八分零六四十一分七九 第六段二百五十六分二七 置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為凡平積。
以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十一分一十四秒，為凡平積差。
另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為凡立積差。
以凡平積差三十五分一十四秒，加入凡平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，為定差。
以凡‘立積差六十六秒五十微，去減凡平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，為平差。
置凡立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，為立差。
凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，為盈縮積。
凡盈曆以八十日九零九二二五為限，縮曆以九十三日七一二零二五為限。
在其限已下為初，以上轉減半歲周馀不末。
盈初是人冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。
縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。
表格略 ▲盈縮招差圖說 盈縮招生，本為一象限之法。
如盈曆則以八十八日九十一刻為象限，縮曆則以九十三日七十一刻為象限。
今止作九限者，舉此為例也。
其空格九行定差本數，為實也。
其斜綿以上平差立差之數，為法也。
斜綿以下空格之定差，乃餘實也。
假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。
今求九限法，以九限乘定差得九萬為實。
另置平差，以九限乘二次，得八千一百。
置立差，以九限乘三次，得七百二十九。
并兩數得八百二十九為法。
以法減實，餘八萬一千一百七十一，為九限積。
又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，并兩數得九進八十一為法，定差一萬為實，以法減實，餘矣千零一十九，即九限末位所書之定差也。
于是瑞以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所不所得不同。
蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。
按《授時曆》于七政盈縮，并以垛積招差立算，其污七巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。
然世所傳《九章》諸書，不載其術，《曆草》載其術，而不言其故。
宣城梅文鼎為之圖解，于平差、立差之理，垛積之法，皆有以發明其所以然。
有專書行于世，不能備錄，謹錄《招生圖說》，以明立法之大意雲。
盈初縮末置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，為加分立差。
置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，為平立合差。
冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。
離為六段，每段各得一十四日八十二刻。
就整。
各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。
積日積差 第一段一十四日八二七千零五十八分零二五 第二段二十九日六四一萬二千九百七十六三九二 第三段四十四日四六一萬七千六百九十三七四六二 第四段五十九日二八二萬一千一百四十八七三二八 第五段七十四日一零二萬三千二百七十九九九七 第六段八十八日九二二萬四千零二十六一八四 各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。
置各段日平差，與後段日平差相減，為一差。
置一差，與後段一差相減，為二差。
日平差一差二差 第一段四百七十六分二五三十八分四五一分三八 第二段四百三十七分八零三十九分八三一分三八 第三段三百九十七分九七四十一分二一一分三八 第四段三百五十六分七六四十一分五九一分三八 第五段三百一十四分一七四十三分九七 第六段二百七十零分二零 置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為凡平積。
以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差十八分四十五秒，餘三十七分零七秒，不凡平積差。
另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為凡立積差。
以凡平積差三十七分零七秒，加入凡平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為定差。
以凡立積差六十九秒，去減凡平積差三十七分零七秒，餘三十六分三十八秒為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。
置凡立積差六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。
夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，就整。
離為六段，每段各得一十五日六十二刻。
就整。
各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。
積日積差 第一段一十五日六二七千零五十八分九九零四 第二段三十一日二四一萬二千九百七十八六五八 第三段四十六日八六一萬七千六百九十六六七九 第四段六十二日四八二萬萬一千一百五十零七二九六 第五段七十八日一零二萬三千二百七十八四八六 第六段九十三日七二二萬四千零百一十七六二四四 推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。
日平差一差二差 第一段四百五十一分九二三十六分四七一分三三 第二段四百一十五分四五三十七分八零一分三三 第三段三百七十七分六五三十九分一二一分三三 第四段三百三十八分五二四十零分四六一分三三 第五段二百九十八分零六四十一分七九 第六段二百五十六分二七 置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為凡平積。
以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十一分一十四秒，為凡平積差。
另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為凡立積差。
以凡平積差三十五分一十四秒，加入凡平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，為定差。
以凡‘立積差六十六秒五十微，去減凡平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，為平差。
置凡立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，為立差。
凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，為盈縮積。
凡盈曆以八十日九零九二二五為限，縮曆以九十三日七一二零二五為限。
在其限已下為初，以上轉減半歲周馀不末。
盈初是人冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。
縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。
表格略 ▲盈縮招差圖說 盈縮招生，本為一象限之法。
如盈曆則以八十八日九十一刻為象限，縮曆則以九十三日七十一刻為象限。
今止作九限者，舉此為例也。
其空格九行定差本數，為實也。
其斜綿以上平差立差之數，為法也。
斜綿以下空格之定差，乃餘實也。
假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。
今求九限法，以九限乘定差得九萬為實。
另置平差，以九限乘二次，得八千一百。
置立差，以九限乘三次，得七百二十九。
并兩數得八百二十九為法。
以法減實，餘八萬一千一百七十一，為九限積。
又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，并兩數得九進八十一為法，定差一萬為實，以法減實，餘矣千零一十九，即九限末位所書之定差也。
于是瑞以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所不所得不同。
蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。
按《授時曆》于七政盈縮，并以垛積招差立算，其污七巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。
然世所傳《九章》諸書，不載其術，《曆草》載其術，而不言其故。
宣城梅文鼎為之圖解，于平差、立差之理，垛積之法，皆有以發明其所以然。
有專書行于世，不能備錄，謹錄《招生圖說》，以明立法之大意雲。
盈初縮末置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，為加分立差。
置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，為平立合差。
