九章録要卷六

亦先以負縱乗商以一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位負縱一千零八十八此當增一開〈負縱至千而依實位初商隻是百數無是理也〉初商得一列甲左第二位而先以負縱乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之〈甲左空位是商千應除之本位也商千乗縱千當於本位加〉則列一於甲左次八仍得八於乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己實並盡得長一千二百二十四　按積較求長二法不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃宜用益積也别擬取?之術凡負縱減商而商不足則以所負商數為負方〈亦可稱餘負縱也〉以負方乗商益積即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳 帶縱負隅益積開平方法　長方以積與和求廣者用和為帶縱〈此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直以縱乗商減實耳然且患縱多積少而須益積及減縱二法矣〉則已兼長廣而積有長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅〈一為負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自見〉為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若幹以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗商〈隅乗商雲者因有負隅之乗故又分隅與商為二也然負隅若止於一則直雲商自乗或隅自乗亦可耳〉益實乃以帶縱除實合次商 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和六十求廣者初商得二〈此當列甲左第二位〉而以乗負隅仍得二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱六除甲之二〈以縱除與以亷除其位同此縱之六與亷之四皆十也以十隨十當於亷本位乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則甲乙同除也　至此宜將初商仍移入甲左矣〉則改甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙之六於甲加一為四為次商得廣二十四 帶縱負隅減縱開平方法　長方積和求廣或減負隅於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若幹以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃以餘縱除實合次商 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡得廣二十四 又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以縱一除乙之四則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以一乗三得三於丙位減之則去乙之一加丙空為七次以三乗三得九於丁位減之則減丙七為六加丁四為五此再開也三開倍前商一十三得二十六以乗負隅仍得二十六為亷法約計三商當得六以乗負隅仍得六為隅法以亷法減縱餘一千一百又以隅法減縱餘一千零九十四乃以縱一除丙之六則去丙之六於乙空位列六為三商次以九乗六得五十四於丁戊兩位減之則去丁之五減戊六為二又以四乗六得二十四減戊己實並盡得廣一百三十六　按積和求廣二法以減縱法為優葢初開以後欲約得續商之數比益積為差易但先以亷減縱而以餘縱求之如第一例餘實六十四且作四與十六相乗之數而餘縱二十析之亦得四與十六兩數即四為次商為隅法以再減餘縱得一十六而以縱除實正得次商矣如第二例直以亷減餘之縱約餘實得次商三商雖得商後須再以隅減縱而縱多商少隅減之餘與亷減之餘當不至大相懸也然此特謂積和求廣之本法止以一為負隅者若施之他處負隅不止於一則因續商有負隅之乗理當小異不得僅如右二説且開除往往遇負積更須參用下文翻法耳 帶縱負隅減縱翻法開平方法　長方以積與和求長者積有長廣相乗無長自乗法當損廣以益長故以和為帶縱别置一算為負隅初開稍盈其商以乗負隅為方法以方法減縱以餘縱乗商減積而積常不足則翻以所負積數為積再開倍前商以乗負隅為亷法以亷法減縱而縱又常不足亦翻以所負縱數為縱既隅積縱三者俱負乃以負縱除負積得次商又以次商乗負隅為隅法以乗商減負積名帶縱負隅減縱翻法開平方 假如長方積三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求長者初商得七〈此雖列甲左而除得次商乃在乙位則又當借列甲位也〉而以乗負隅仍得七為方法以方法減縱餘五十乃以縱五乗商七得三十五於甲乙兩位減之而積不足四十四則去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四於丙列四於丁為負積此初開也再開倍前商七得一十四以乗負隅仍得一十四為亷法以亷法減縱而縱不足二十即以負縱二除丙之四則去丙之四於乙空位列二為次商又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四減丁位負積適盡得長七十二 又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十此當增一開初商得一〈若初商九百或八百商愈少則負積且愈多故知當為一千也〉列甲左第二位而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘三百六十乃以縱乗商以三乗一仍得三於甲位減之〈商千之位在甲左商千乗縱百則退一位故當於甲位減〉以六乗一仍得六於乙位減之而積不足一十九萬三千五百三十六則去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一於甲列九於乙列三於丙列五於丁列三於戊列六於己為負積此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為廉法以亷法減縱而縱不足六百四十即以負縱六除甲之一〈倍商之二是千也依常法當於甲位除除得次商當在甲左此負縱之六是百也則當於乙位除而甲位有負積故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商應列之位特因負縱數朒故耳〉則於乙加四為十三又以六除乙之十三則於乙減六存七於甲加一為二為次商〈此當於再開畢後移列甲左葢三開則負縱亦盈至千與常法倍商數等矣〉次以四乗二得八於丙位減之則減乙七為六加丙三為五又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於乙位減之則減乙六為二此再開也三開倍前商一十二得二十四以乗負隅仍得二十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零四十即以負縱一除乙之二則去乙之二於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丁位減之則減丙五為四加丁五為七又以三商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於丁位減之則減丁七為三此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四以乗負隅仍得二百四十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零八十即以負縱一除丙之四則去丙之四於乙空位列四為四商次以八乗四得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊三為一又以四商乗負隅仍得四為隅法以乗商四得一十六減戊己負積並盡得長一千二百二十四　按積和求廣初開後必有餘積〈若遇負積即初商是長非廣也此亦指一為負隅者而言〉求長則初開常負積其大凡也若求長用益積法則初開所負之積不妨於再開所益積内減之〈再開所負於三開所益減〉但欲約次商患其茫然無緒可尋故隻倣減縱法葢減縱則縱常不足因即以負縱除負積而得商此翻法所以為良也其間更有變例不可不知者别詳於左 一求長而初開後乃有餘積此其初商必與求廣相同者也既有餘積則以亷減縱亦必有餘縱〈若積餘縱負乃是商數過盈非所求之長當改商就朒〉且如實一萬九千四百四十和二百八十八初商得一百〈求廣求長同〉而餘積六百四十再開以亷減縱餘八十八約餘積為八與八十相乗之數而餘縱析之亦得八與八十兩數此若求廣即再開為空位以八為三商以再減餘縱得八十而以除積正得三商為廣一百零八若求長即以八十為次商以再減餘縱得八而以除積正得次商為長一百八十葢隻用減縱法而廣長皆得可不須翻法也又如實二萬零九百四十四和二百九十初商得一百而餘積一千九百四十四再開以亷減縱餘九十約餘積一千九百〈其下小數且置不算也〉為四十與五十相乗之數則朒為三十與六十相乗之數則盈而餘縱析之亦得四十與五十兩數及三十與六十兩數此若求廣則取盈數〈宜有餘積也〉以三十為次商〈廣不合有一百六十故不用六〉以再減餘縱得六十而以除積一千八百得次商仍餘積一百四十四三開以亷減縱餘三十約餘積為六與二十四相乗之數而餘縱析之亦得六與二十四兩數即以六為三商以再減餘縱得二十四而以除積正得三商為廣一百三十六若求長則取朒數〈宜