九章録要卷六

減半之得廣 長方以積與長廣和求長廣　法以四乗積減和實開方得長廣較　按四乗積者以四長方兩縱兩橫列四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較實也〈二法亦見句股章彼以八乗積者句股之積半長方積也〉右二法可該下文縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用出焉固非右二法所能及矣具詳於左 帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其商以帶縱并之為方法〈常法以方與商為一此以方與商為二〉乃以乗商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實得次商其隅法如常 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三十二〈須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦然〉為方法乃以方法乗商以三乗二得六〈此處隻作二與三且勿論其為二十與三十可也〉於甲位減之〈依常法商二自乗當於甲位減今與方法三相乗亦同也〉則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之〈六於甲位減則四當於乙位減故初開而減及次開之亷位也〉則減乙六為二此初開也再開倍前商二得四并縱得五十二〈倍商是四十也　倍商不倍縱〉為亷法先以五除甲之二〈倍商之四當於乙位除因帶縱首之一而成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位也此五隻作五若倍商四縱首六并成一十乃當進一位耳〉則改甲二為四為次商次以二乗四得八於丙位減之〈五於乙位除則二當於丙位除故亷法而減及隅位也〉則減乙二為一加丙四為六又以隅四自乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四〈并較得長三十六〉 又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位〈戊己為虛位〉帶縱七百二十初商得二〈若商三則并縱首之七為一十又與商乗得三十而實首隻二十三不足除故用二〉列甲左〈不列甲位者帶縱故也〉而以縱并商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千一百二十為亷法先以一除乙之四〈倍商之四當於丙位除因并縱首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也〉則去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十〈并較得長九百六十〉又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開值空位矣〈倍商之二當於乙位除除得次商當在甲位今若去乙之二而列一於甲為次商即丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也〉三開倍前商一十得二十〈此一與二皆百也謂之十者依常法〉并縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二〈倍商之二十當於丙位除乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙二為九加丙二為四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八〈并較得長一百八十〉 又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之〈若初商一則并縱得一百七十二而乙丙兩位無七與二可除也〉初商得九〈此當借列實首甲位〉而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商以一乗九得九於乙位減之〈初商之九當於丙位減因并縱首之七而成一十六則此一當進而於乙位減〉則去甲之一加乙六為七次以六乗九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙之一〈倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六〈并較得長一百六十八〉 又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千零八十八初商得一〈初商是百而縱乃至千故隻可用一〉列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之〈方一百之一當於乙位減此是縱首一千之一故進一位〉則去甲之一次一仍得一於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以一除乙之四〈倍商之二當於丙位減此是縱首之一故進一位也下三開倣此〉則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡得廣一百三十六〈并較得長一千二百二十四〉 帶縱減積開平方法　長方積較求廣或於實内減長積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若幹亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅法如常 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於甲位減之〈此縱之一商之二皆十也依常法商二自乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此〉則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約計次商當得四〈約計減積之餘尚有商亷相乗及隅自乗之數也〉亦先以縱乗商以一乗四得四於乙位減之〈次商即再開之隅隅本位在丙然隅四隻是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比再開又退一位矣〉則減甲二為一加乙二為八次以二乗四得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十四 又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商不足除知再開值空位〈乙位實二試擬一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於丙位減之則丙實隻有二必減及於乙而亷已不足除未暇論其他矣故知再開值空位也〉三開倍前商一十得二十為亷法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八　按積較求廣雖有二法隻如一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用不容廢雲 負縱減方亷開平方法　長方以積與較求長者其廣之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減之為亷法以除實得次商其隅法如常　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六〈減較得廣二十四〉 又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位減之〈商係百而乗方之十故退一位也〉則減乙九為七次八仍得八於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一百八十〈減較得廣一百零八〉 負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若幹亦先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法如常 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得三〈此當列甲左第二位因有益積故也初開畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方諸例其商位每不可拘善算者自了然於心手之間耳〉而先以負縱乗商以一乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三得六為亷法約計次商當得六