九章録要卷六

欽定四庫全書 九章録要卷六 松江屠文漪撰 少廣法 古九章四曰少廣以禦積冪方員 開平方法　平方開除先列實視實有幾位〈凡實之大數從千起者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下小數亦存一虛位止於百而無以下小數亦存兩虛位一定不可易也〉即知須幾開而盡〈凡經再開者開得平方大數從十起三開者百四開者千或實尾一開虛擬而未經開者即開得數終於十而無以下小數也〉率實兩位而一開逆從實尾向左數之〈尾在右也〉至實首則一位亦一開也其開之法有三曰方曰亷曰隅〈方法亦謂之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法〉初開視實首位以起方法實首一位開者〈一位之實多不過九〉取三及以下數自乗兩位開者〈兩位之實少不下十一〉取三及以上數自乗所取以自乗之數初商也列實首之左〈亦有不列於左而即借實首位列之者説詳於後〉自乗所得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右即以次商為隅法自乗得數用減實訖〈於亷法下一位減之觀後假例自明〉是為再開自三開以後俱倣此 〈或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各如前方之數則二亷相?之一角猶缺一小平方其四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以足之也〉 假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此須三度開而實首隻甲一位開也甲數一則取一為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去一此初開也再開倍前方一得二〈前方是一百倍之為二百而此且勿論也但謂之一謂之二可耳〉為亷法以二除乙之五〈乙丙兩位為再開之位而亷法當於乙位除隅法當於丙位除也〉則於乙減四存一於甲空位列二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得二十四〈前方一下復有二則且謂之一十二矣不計其為一百二十也雖更多亦然〉為亷法先以二除丙之七〈丁戊兩位為三開之位則亷法當於丁位除而亷法有二十四即二當於丙位除四乃於丁位除也〉則於丙減六存一於乙空位列三為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減之〈亷之四當於丁位除而與商乗得一十二即一又當於丙位除矣隅法亦然〉則並去丙之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡得方一百二十三 又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲乙數四十五〈甲四乙五并而計之則曰四十五而不必問其為四十五萬也〉且取六為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七存二於甲空位列七為次商〈不用　者以八開之則實不足也〉次以二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一〈戊己兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳〉則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又減乙九為八為三商而加丙一為二〈乙之一丙之十也試列十於丙而以亷一除之與此同則除乙猶之除丙耳〉次以三與八相乗得二十四於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位減之適盡得方六百七十八 又如實六百七十六列甲乙丙三位此隻須兩度開而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六為次商〈此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同除也前例隻是以亷一除丙之十此例隻是以亷四除乙之二十七合觀二例其義益明〉乃以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得方二十六 開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值空位矣〈丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一當於乙位除而除得次商當在甲位今若去乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而甲位空矣可知無次商宜便接三開也〉三開倍八十得一百六十〈前方八下有空位則謂之八十也若更有空位亦遞進之〉為亷法仍先以一除乙之一〈戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙其説已詳前二例矣　三商自當在乙位也〉則改乙一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方八百零九 開方初商列位法　凡初商列於實首位之左者為多而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得不列甲之左矣〈五以上更不必言〉若實首既以兩位開而初商係四倍之為八隻當於丙位除然則除得次商當在乙位而初商當列甲位又何疑乎〈四以下更不必言〉且如實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬議也但審定初商位置則無空者不緻誤而成空而以後俱任其自然之數可耳 又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且緻大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此弊矣 開方餘實命分法　開方餘實僅及所開方數一倍以下則命分命分者倍方加一數以命之〈倍方者亷法加一數者隅法〉假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五分之六并整為七零一十五分之六也 開方求零分密法　開方餘實欲除令盡即所得方數必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母得八十一〈此原實一之方積也葢一實而縱橫俱分為九則其中應有方積八十一矣〉子得一千六百〈此總方積也〉以母積除子積歸整得實一十九又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當更有法以開之其法倍九之四十〈倍之為亷法也〉為九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十則其法已密矣 又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更有法以開之其法倍二之九為一之九〈本欲倍其子而半其母則子自倍矣不須更用約法〉以除盈四之一得三十六之一與前方二之九相減〈此與前法正同而盈朒并減有辨葢前方朒於原實則以亷法除所朒之數而與之相并前方盈於原實則以亷法除所盈之數而與之相減也〉得七十二之三百二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與前法同〈按二法所得數其歸正同葢偶同耳他處則往往小異也〉 右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依法再開 又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百之一也或增二開三開者倣此 零分開方法　原實係整數而開之帶零分者前法已詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四化為九之四十〈此隻依命分之數聊示其法耳未及密率也〉此當用整除零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分篇中於開方法未詳茲乃盡其變雲 長方以積與長廣較求長廣　法以四乗積并較實開方得長廣和和較相并半之得長相