九章録要卷五
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欽定四庫全書
九章録要卷五
松江屠文漪撰
差分法
古九章三曰差分亦曰衰分以禦貴賤廩稅
一分遞加減衰分〈以最少者一分之數遞加成多若從多者遞減則減至最少者而減盡也〉法以一為首衰〈從少者起算〉自一而二而三四遞加為各等衰并之為總衰以為一率總實為二率各等衰為三率求得四率即各等數
假如有銀七十二兩甲乙丙丁戊五人以一分遞加減分之問各幾何
一率 一十五〈總衰 衰分章三率法獨有宜先以一率除二率者〉二率 七十二〈總實 一率除二率得四兩八錢〉
三率 五〈甲衰〉四〈乙〉 三〈丙〉 二〈丁〉 一〈戊〉
四率 〈二十 一十九一十四九兩 四兩四兩 兩二錢兩四錢六錢 八錢〉
右各等中倘復各自有數不齊者先以各衰乗之為各總衰然後并為大總衰
假如有糧二千四百石甲乙丙丁四等戶依前例輸之甲等二十戶乙等三十戶丙等四十戶丁等五十戶則以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等戶數為各總衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百為大總衰列一二率如前若以各總衰為三率即得各等總數以各衰為三率即得各等每戶數〈以下諸法倣此〉
減半衰分〈乙當甲之半丙又當乙之半也〉 法以一為首衰自一而二乗之又二乗之為各等衰〈以一二乗得二以二二乗得四并之得七餘倣此〉列率乗除如前
二八衰分〈甲視乙為八與二乙視丙又為八與二也〉 法以二為首衰自二而四乗之又四乗之為各等衰〈以二四乗得八以八四乗得三十二并之得四十二餘倣此〉列率乗除如前
四六衰分〈同上〉 法以四為首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同為各等衰〈以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九餘倣此〉乗除如前
三七衰分〈同上〉 法以三為首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之為各等衰〈以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一餘倣此〉乗除如前或厭零分多者就首衰之數以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰則三乗首衰之三得九為首衰甲乙丙丁四等衰則又三乗九得二十七為首衰甲乙丙丁戊五等衰則又三乗二十七得八十一為首衰〈每多一等則首衰多三乗一番〉既增廣其首衰然後用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣
十分之六遞減衰分 法以一為首衰〈此從多者起算所謂首衰之一亦與前一為首衰者不同前一隻是一數此則無定之數也〉遇二等衰則為一十三等衰則為一百四等衰則為一千以為首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之為各等衰〈以一百六乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六餘倣此〉乗除如前凡十分之七或八九諸數遞減衰分俱準此推之不别為法以滋繁瑣
減半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二數求總實減半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少則曰減半言其自少而多則曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也〈零分法一又二之一化為二之三乃用子乗母除則當三乗二除猶之六乗四除也〉三七衰分是二又三之一乗加也〈零分法二又三之一化為三之七乃用子乗母除亦是七乗三除也〉十分之六遞減衰分是一又三之二乗加也〈零分法一又三之二化為三之五乃用子乗母除則當五乗三除猶之十乗六除以此遞加與六乗十除遞減同耳〉以上所雲幾乗加者但取衰分之數以少除多即得之〈假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所雲幾乗加也〉若各衰分止舉首尾二等最少最多之數問總實幾何者不必論其中間分作幾等但以首尾數多少相減減餘以原乗數減一數為法而除之〈假如原係四乗加者以三除之原係一又二之一乗加者以二之一除之原係二又三之一乗加者以一又三之一除之原係二乗加者以一除之一除固可不必除然於法不容沒此一除恐似别為一法也〉即得最少以至次多諸等之總實以并最多數即得全總實
右例以原乗數減一數為除法亦不必求原乗數而減之但以衰分之數多少相減減餘以少數除之即得除法〈假如三七衰分三七相減餘四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相減餘四以六除四得三之二與原乗數減一數同 右一條新訂〉
減半二八四六三七十分之六各衰分求隔等數不論幾乗加但知首等最少之數再知中間一等之數即可隔等而求之假如知首等數與第六等數者第六等數已經五度加矣則以此數自乗以首等數除之即得十度加之數〈倍五為十也凡自乗者以倍相求 十度加乃是第十一等〉若以六度加之數〈第七等〉自乗以首等數除之即得十二度加之數〈第十三等〉若以五度加六度加之數相乗以首等數除之即得十一度加之數〈五六并為十一也凡二等數相乗者并而求之 十一度加是第十二等〉若以三度加〈第四等〉八度加〈第九等〉之數相乗以首等數除之亦得十一度加之數此謂以少求多者或以多求少如以十六度加之數〈第十七等〉以首等數乗之開方除之即得八度加之數亦可以十六度加之數以首等數乗之以十度加之數除之得六度加之數葢取以少求多之法而反用之即是也〈右一條新訂〉
右求總實求隔等數二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九諸數遞減衰分準此推之無不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商販獲息當母二之一并入母銀又獲息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之數俱合子母而言則當以最後一度之數為總實不得并諸度之數為總實且首一數即係原母則一度自有一度之加與甲乙分金十等人止須九度加者亦微有辨也
合率衰分 率者衰分多寡之大率也〈與三率之率自不相涉各有取義也〉葢衰分各等之實數有所未知而各等之大率已知因合各率以與總實相權而衰分得焉不計其合未有能分者也然則以前諸法無非合率衰分而此獨以合率名者何也前諸法若三七若四六皆有準則固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六為準乃不可専名而獨名之合率也各率為各衰并之為總衰乗除如前假如有銀二百四十兩甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分則甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之為二十五為總衰也其各等中又各